Uzayda R boyutunun iki noktası arasındaki uzaklık, karekökün bu sıralı noktaların oluşturduğu vektöre uygulanmasıdır.
Başka bir deyişle, uzayda iki nokta arasındaki mesafe, bu noktaların oluşturduğu vektörün modülüdür.
İki nokta arasındaki uzaklık, verilen noktaların oluşturduğu vektörün modülünden başka bir şey değildir. Vektörün modülü hesaplandıktan sonra, iki nokta arasındaki mesafeye zaten sahip olacağız.
formül
Aşağıdaki iki nokta göz önüne alındığında:
Daha sonra, bu iki nokta arasındaki mesafe, oluşturdukları vektörün modülü olacaktır:
Bu nedenle, bu vektörün modülü, bu iki nokta arasındaki mesafe olacaktır:
Kökün uzunluğu, noktaların sahip olduğu boyutların sayısına bağlı olacaktır. Yalnızca iki boyutlu noktalarsa, kök içinde yalnızca iki terim olacaktır. Öte yandan, noktaların 6 boyutu varsa, kökün içinde 6 öğe olacaktır.
Noktaların sıralanması gerektiği söylenir, çünkü vektörlerde, matrislerde olduğu gibi, faktörlerin sırası önemlidir ve doğru problem çözümü için çok önemlidir. B noktasından C noktasına giden bir vektör, C noktasından B noktasına giden başka bir vektörle aynı değildir.
şematik olarak:
Önceki iki vektörün paylaştığı şey mesafedir: hem BC vektörü hem de CB vektörü noktaları arasında aynı mesafeyi korur. Başka bir deyişle, aynı modüle sahiptirler.
Bunun nedeni, iki vektörün farkının yalnızca koordinatlarının işareti olmasıdır. Modül, vektörün koordinatlarının karesini almayı içerdiğinden, mutlak değeri uyguladığımız gibi aynı etkiyi üretir. Aslında, iki paralel çizgi ile bir vektörün modülünü belirtmemizin nedeni budur:
Daha sonra bileşenlerin karesinin etkisini ortadan kaldırmak ve aynı birimlere dönmek için kök uygulanır.
Analitik geometride ve gerçekte mesafe
Analitik geometride mesafeleri hesaplamamız gerektiğinde gerçek örneklerle kendimize yardımcı olabiliriz. Örneğin, bu durumda olduğu gibi iki nokta arasındaki mesafeyi hesaplamamız istense kendimizi başlangıç noktası (B noktası) ve bir nesneyi bitiş noktası (C noktası) olarak hayal edebiliriz. Böylece, bir nokta ile diğeri arasındaki mutlak değeri çıkararak bu mesafeyi ölçebiliriz. Diğer bir deyişle, daha teknik bir deyişle, modülü hesaplayın.
Konumumuzdan nesneye ve nesneden bize olan mesafenin aynı olacağını göreceğiz. Ayrıca, 0 veya daha büyük olsun, bu mesafe her zaman pozitif olacaktır. Nesneyi tutuyoruz ve bu nedenle bu mesafe 0 olabilir veya hedef çok uzakta, dolayısıyla pozitif bir mesafe olabilir.
İki nokta arasındaki mesafeye örnek
Aşağıdaki noktalar arasındaki mesafeyi hesaplayın:
