Θ parametresi için yeterli bir istatistik, X rastgele değişken örneğinin içerdiği tüm bilgileri toplama veya özetleme yeteneğine sahip bir istatistiktir.
Bir istatistiğin numunenin gerçek bir fonksiyonu olduğunu biliyoruz. Yani numunenin içerdiği gerçek değerleri alır. Oradan, istatistik kavramının tanımlandığı makalede gördüğümüz gibi, istatistikçinin belirli özelliklere sahip olduğundan emin olmalıyız. Neden bu tür mülkler talep ediliyor? İstatistiğin amaçlarımız için yararlı olmasını sağlamak.
Yeterlilik de bu özelliklerden biridir. Çok daha basit bir şekilde, örnekte yer alan tüm bilgileri kullanıyorsa bir istatistiğin yeterli olduğunu söyleyeceğiz.
Bir istatistiğin yeterli olup olmadığı nasıl anlaşılır?
Mantıksal olarak ortaya çıkan soru şudur: Bir T istatistiğinin yeterlilik özelliğini karşılayıp karşılamadığını nasıl bilebilirim? Veya Yeterlilik özelliğini sağlayan bir istatistiği varsa nasıl bulabilirim. Bu iki sorunun cevabı iki teoremde bulunur:
- Fisher-Neyman çarpanlarına ayırma kriteri: Bu kriter, verilen bir T istatistiğinin belirli koşulları sağlaması durumunda yeterli bir istatistik olacağını belirtir.
- Darmois teoremi: Bu teorem ikinci soruyu cevaplar. Yani, bir dizi prosedür yoluyla yeterli bir istatistik bulmamızı sağlar.
Yeterli bir istatistik örneği
Şili'de ikamet eden ailelerin yıllık ortalama gelirini hesaplamak istediğimizi varsayalım. Bunu yapmak için aşağıdaki süreci izleyeceğiz:
- Bilgi toplayın (örnek): Şili'de ikamet eden ailelerin her birine yıllık ne kadar kazandıklarını soramayacağımız için, örneğin 1000 aileyi temsil eden bir örneklem alacağız.
- İncelenen rastgele değişkeni tanımlayın: İncelenen rastgele değişken aile geliridir. Böylece: X → Aile geliri
- Doğru istatistiği seçin: Ortalama geliri hesaplamak için uygun istatistik, X'in beklentisinden başkası değildir. Başka bir deyişle, X'in örnek ortalamasıdır.
- Örnek ortalama istatistiğinin yeterli bir istatistik olup olmadığını nasıl bilebilirim? Zaten istatistiğin matematiksel ifadesine sahip olduğumuz için Fisher-Neyman faktoring kriterini kullanacağız. Veya Darmois Teoremi. Bu amaçla oluşturulmuş formüllerdir.
Uygun hesaplamaları uyguladıktan sonra, örnek ortalama istatistiğinin yeterlilik şartını veya özelliğini karşıladığı sonucuna varırız. Bu gereksinimi karşıladığından emin olarak, bilgiyi sentezlememizi sağlayan bu (istatistiksel) fonksiyonun (ortalama gelir) örnekte yer alan tüm bilgileri (1.000 aile) kullanmasını sağlıyoruz.
Örnekteki tüm bilgileri kullanmam neden önemlidir?
Artık örnek ortalamanın yeterli bir istatistik olduğunu bildiğimize göre, bir durum varsayalım. Bu 1000 Şilili aileyi temel alarak ortalama geliri hesaplamayı ve sadece 500 ailenin verilerini kullanmamızı istemek ne anlam ifade eder?
Tabii ki, hiçbir anlamı olmayacaktı. Tüm bilgilerin bir özetini istiyoruz. Yani bizim yeterli istatistik olarak tanımladığımız şey.