Matematiksel model, farklı değişkenler, parametreler ve kısıtlamalar arasındaki ilişkiyi temsil etmek için matematiksel formülleri kullanan bir modeldir.
Bir matematiksel model, bir fenomenin veya iki veya daha fazla değişken arasındaki ilişkinin matematiksel denklemler, fonksiyonlar veya formüller aracılığıyla basitleştirilmiş bir temsilidir. Modellerin niteliklerini ve yapısını incelemekten sorumlu olan matematik dalı, "model teorisi" olarak adlandırılır.
Matematiksel bir model ne için?
Matematiksel modeller, iki veya daha fazla değişken arasındaki ilişkiyi analiz etmek için kullanılır. Doğal, sosyal, fiziksel olayları vb. anlamak için kullanılabilirler. Aranan amaca ve aynı modelin tasarımına bağlı olarak, diğer hedeflerin yanı sıra gelecekteki değişkenlerin değerini tahmin etmek, hipotezler yapmak, belirli bir politika veya faaliyetin etkilerini değerlendirmek için kullanılabilirler.
Teorik bir kavram gibi görünse de, gerçekte günlük yaşamın matematiksel modellerle yönetilen birçok yönü vardır. Olan şu ki, teorileştirmeye odaklanan matematiksel modeller değiller. Aksine, bir şeyin çalışmasını sağlamak için formüle edilmiş matematiksel modellerdir. Örneğin, bir araba.
Matematiksel bir modelin temel öğeleri
Matematiksel modeller karmaşıklıklarına göre değişebilir, ancak hepsinin bir dizi temel özelliği vardır:
- Değişkenler: Anlamaya veya analiz etmeye çalışılan kavramlar veya nesnelerdir. Özellikle diğer değişkenlerle ilişkisi açısından. Bu nedenle, örneğin, bir değişken, çalışanların maaşı olabilir ve analiz etmek istediğimiz şey, onların ana belirleyicileridir (örneğin: eğitim yılı, ebeveynlerin eğitimi, doğum yeri, vb.).
- parametreler: Bunlar modelin bilinen veya kontrol edilebilen değerleridir.
- kısıtlamalar: Analiz sonuçlarının makul olduğunu gösteren belirli sınırlardır. Örneğin değişkenlerden biri bir ailenin çocuk sayısı ise, bu değerin negatif olmaması doğal bir kısıtlamadır.
- Değişkenler arasındaki ilişkiler: Model, ekonomik, fiziksel, kimyasal teorilere vb. dayalı değişkenler arasında belirli bir ilişki kurar.
- Basitleştirilmiş temsiller: Bir matematiksel modelin temel özelliklerinden biri, fonksiyonlar, denklemler, formüller vb. gibi matematiğin öğeleri aracılığıyla çalışılan değişkenler arasındaki ilişkilerin temsilidir.
Matematiksel bir modelin istenen özellikleri
Matematiksel bir model tasarlanırken, sağlamlığını ve etkinliğini sağlamaya yardımcı olan bir dizi özelliğe sahip olması amaçlanır. Bu özellikler arasında:
- Basitlik: Matematiksel bir modelin temel amaçlarından biri, gerçeği daha iyi anlamak için basitleştirmektir.
- nesnellik: Tasarımcılarının ne teorik ne de önyargı veya fikirlerinden önyargıları yoktur.
- Duyarlılık: Küçük varyasyonların etkilerini yansıtabilmesi.
- istikrar: Değişkenlerde küçük değişiklikler olduğunda matematiksel modelin önemli ölçüde değişmediğini.
- evrensellik: Sadece belirli bir duruma değil, çeşitli bağlamlara uygulanabilir.
Açıkçası çok daha fazlası var, ancak yukarıdakiler en sezgisel olanlardır.
Matematiksel bir model oluşturma süreçleri
Genel olarak matematiksel bir model geliştirme süreci şu şekildedir:
- Bir fenomen veya problem bulun.
- İlgili değişkenleri (bağımlı ve bağımsız) tanımlayan, seçilen problemi temsil eden matematik unsurlarıyla bir model formüle edin.
- Doğruluğu için hipotezler ve bir test yöntemi oluşturun.
- Modeli çözmek için matematiksel bilgileri uygulayın ve gerekirse tahminlerde bulunun.
- Elde edilen verileri gerçek verilerle karşılaştırın.
- Sonuçlar beklentileri karşılamıyorsa, matematiksel modeli ayarlayın.
Matematiksel model türleri
Çeşitli matematiksel modeller vardır. En alakalı model türlerinden bazıları şunlardır:
Kullanılan bilgilere göre
- buluşsal: Gözlenen fenomenlerin nedenleri hakkında olası açıklamalara dayanmaktadır.
- ampirik: Gerçek deneylerden elde edilen bilgileri kullanır.
Temsil türüne göre
- Niteliksel veya kavramsal: Kesin bir değer hesaplamadan bir olgunun niteliğinin veya eğiliminin analizine atıfta bulunurlar.
- Nicel veya sayısal: Elde edilen sonuçların belirli bir anlamı olan belirli bir değeri vardır (kesin veya göreceli olabilir).
rastgeleliğe göre
- deterministik: Belirsizliği yoktur, değerleri bilinmektedir.
- stokastik: Değişkenlerin değeri her zaman tam olarak bilinmez. Belirsizlik vardır ve bu nedenle sonuçların bir olasılık dağılımı vardır.
Uygulamanıza veya amacınıza göre
- Simülasyon veya açıklayıcı: Bir fenomeni simüle eder veya tanımlar. Sonuçlar, belirli bir durumda ne olacağını tahmin etmeye odaklanır.
- Optimizasyon: Bir probleme optimal bir çözüm bulmak için kullanılırlar.
- kontrol: Bir organizasyonun veya sistemin kontrolünü sürdürmek ve istenen sonuçları elde etmek için ayarlanması gereken değişkenleri belirlemek.