Özvektörler, bir matrisin doğrusal dönüşümlerinde bir özdeğer ile çarpılan vektörlerdir. Özdeğerler, bir matrisin doğrusal dönüşümlerinde özvektörleri çarpan sabitlerdir.
Başka bir deyişle, özvektörler, bilgileri orijinal matristen değerlerin çarpımına ve bir sabite çevirir. Özdeğerler, özvektörleri çoğaltan ve orijinal matrisin doğrusal dönüşümüne katılan bu sabittir.
İspanyolcadaki adı çok açıklayıcı olmasına rağmen, İngilizce'de özvektörler denir. özvektörler ve öz değerler, özdeğerler.
Önerilen makaleler: matris tipolojileri, ters matris, bir matrisin determinantı.
Kendi Vektörleri
Özvektörler, herhangi bir sabitin çarpılmasıyla orijinal matrisin ve eleman kümelerinin çarpımına eşdeğer olan eleman kümeleridir.
Matematiksel olarak, bir özvektörV= (v1,…, Vn) bir kare matrisinS herhangi bir vektörV herhangi bir sabit için aşağıdaki ifadeyi karşılayanh:
QV = hV
Kendi değerleri
Sabit h özvektöre ait olan özdeğerdir V.
Özdeğerler, karakteristik denklem aracılığıyla bulduğumuz gerçek köklerdir (çözüm olarak gerçek sayıları olan kökler).
Özdeğerlerin özellikleri
- Her özvektörün parçası olabilen sonsuz sayıda reel sayı olduğundan, her özdeğerin sonsuz özvektörleri vardır.
- Bunlar skalerdir, karmaşık sayılar olabilirler (gerçek değiller) ve özdeş olabilirler (birden fazla eşit özdeğer).
- Satır sayısı kadar özdeğer vardır (m) veya sütunlar (n) orijinal matrise sahiptir.
Vektörler ve özdeğerler
Özdeğerler özvektörleri çarptığı için vektörler ve özdeğerler arasında doğrusal bir bağımlılık ilişkisi vardır.
Matematiksel olarak
V matrisin bir özvektörü iseZ Y h matrisin öz değeri Z, sonrahV vektörler ve özdeğerler arasında doğrusal bir kombinasyondur.
karakteristik fonksiyon
Karakteristik fonksiyon, bir matrisin özdeğerlerini bulmak için kullanılır.Z Meydan.
Matematiksel olarak
(Z - hl) V = 0
Nerede ZYh yukarıda tanımlanmıştır veben kimlik matrisidir.
Şartlar
Bir matrisin vektörlerini ve özdeğerlerini bulmak için aşağıdakiler sağlanmalıdır:
- Matris Z kare: satır sayısı (m) sütun sayısıyla aynıdır (n).
- Matris Z gerçek. Finansta kullanılan çoğu matrisin gerçek kökleri vardır. Gerçek kökleri kullanmanın ne avantajı var? Pekala, matrisin özdeğerleri asla karmaşık sayılar olmayacak ve bu, arkadaşlar, hayatımızı çok çözüyor.
- Matris (Z- Selam) ters çevrilemez: determinant = 0. Bu koşul, her zaman sıfırdan farklı özvektörleri bulmamıza yardımcı olur. 0'a eşit özvektörler bulursak, değerler ve özvektörler arasındaki çarpma sıfır olur.
pratik örnek
Bir vektörün vektörlerini ve özdeğerlerini bulmak istediğimizi varsayalım.Z 2 × 2 boyutlu matris:
1. Matrisi değiştiriyoruz Z Yben karakteristik denklemde:
2. Faktörleri düzeltiriz:
3. Sanki matrisin determinantını arıyormuşuz gibi elemanları çarpıyoruz.
4. Bu ikinci dereceden denklemin çözümü h = 2 ve h = 5'tir. Matristeki satır veya sütun sayısı nedeniyle iki özdeğer Z 2'dir. Böylece matrisin özdeğerlerini bulduk Z bu da determinantı 0 yapar.
5. Özvektörleri bulmak için çözmemiz gereken:
6. Örneğin, (v1, v2) = (1,1) h = 2 ve (v için)1, v2) = (- 1,2) h = 5 için:
