Matrislerin doğrusal dönüşümü, belirli bir vektörün başlangıç boyutunu değiştiren matrisler aracılığıyla yapılan doğrusal işlemlerdir.
Başka bir deyişle, bir vektörün boyutunu herhangi bir matrisle çarparak değiştirebiliriz.
Doğrusal dönüşümler, birbirlerine doğrusal olarak bağlı olduklarından, bir matrisin vektörlerinin ve özdeğerlerinin temelidir.
Önerilen makaleler: matrisler, vektörler ve özdeğerlerle işlemler.
Matematiksel olarak
Bir matris tanımlıyoruzC 3 × 2 boyutundan herhangi biri, boyutun bir V vektörü ile çarpılırn = 2 öyle ki V = (v1, v2).
Sonuç vektörü hangi boyutta olacak?
Matrisin ürününden elde edilen vektörC3×2vektör ileV2×13 boyutlu yeni bir V 'vektörü olacaktır.
Vektörün boyutundaki bu değişiklik, matris boyunca doğrusal dönüşümden kaynaklanmaktadır. C.
pratik örnek
Kare matris verildiğinde$ 2 × 2 boyutlu ve vektörlüV boyut 2
Vektör boyutunun doğrusal bir dönüşümüV bu:
vektörün ilk boyutu nerede V 2 × 1 idi ve şimdi vektörün son boyutu Anlıyorsun3 × 1. Boyuttaki bu değişiklik, matris çarpılarak elde edilir. $.
Bu doğrusal dönüşümler grafiksel olarak gösterilebilir mi? Tabii ki!
Sonuç vektörü V'yi bir düzlemde temsil edeceğiz.
Sonra:
V = (2,1)
V’= (6,4)
grafiksel olarak
Grafik gösterimi kullanan özvektörler
Sadece grafiğe bakarak bir vektörün belirli bir matrisin özvektörü olduğunu nasıl belirleyebiliriz?
matrisi tanımlıyoruzD 2 × 2 boyutunda:
vektörler v1= (1,0) ve v2= (2,4) matrisin özvektörleri D?
süreç
1. İlk v vektörü ile başlayalım1. Önceki doğrusal dönüşümü yapıyoruz:
Yani eğer vektör v1 matrisin özvektörüdür D, sonuçtaki vektör v1've vektör v1aynı çizgiye ait olmalıdırlar.
v'yi temsil ediyoruz1 = (1,0) ve v1’ = (3,0).
Her ikisi de v olduğundan1V olarak1'Aynı satıra ait, v1 matrisin bir özvektörüdür D.
Matematiksel olarak sabit birh(özdeğer) öyle ki:
2. İkinci vektör v ile devam ediyoruz2. Önceki doğrusal dönüşümü tekrarlıyoruz:
Yani eğer vektör v2 matrisin özvektörüdür D, sonuçtaki vektör v2've vektör v2 aynı satıra ait olmalıdırlar (yukarıdaki grafikte olduğu gibi).
v'yi temsil ediyoruz2 = (2,4) ve v2’ = (2,24).
v'den beri2 ve V2'Aynı hatta ait olmayın, v2 matrisin bir özvektörü değil D.
Matematiksel olarak sabit yoktur.h(özdeğer) öyle ki:
