Bayes teoremi, bir olayın olasılığını önceden o olay hakkında bilgi sahibi olarak hesaplamak için kullanılır.
A olayının olasılığını belirleyen belirli bir özelliği yerine getirdiğini de bilerek, bir A olayının olasılığını hesaplayabiliriz. Bayes teoremi, olasılığı toplam olasılık teoreminin tersi olarak anlar. Toplam olasılık teoremi, A olaylarının sonuçlarından bir B olayı hakkında çıkarımda bulunur. Bayes, A'nın B'ye bağlı olasılığını hesaplar.
Bayes teoremi geniş çapta sorgulanmıştır. Bu, esas olarak kötü uygulamasından kaynaklanmaktadır. Ayrık ve kapsamlı olayların varsayımları yerine getirildiği sürece, teorem tamamen geçerlidir.
Bayes teoremi formülü
Bu tür bir olayda Bayes tarafından tanımlanan olasılığı hesaplamak için bir formüle ihtiyacımız var. Formül matematiksel olarak şu şekilde tanımlanır:
B, hakkında daha önce bilgi sahibi olduğumuz olay ve A (n) farklı koşullu olaylardır. Pay kısmında koşullu olasılık, alt kısımda ise toplam olasılık bulunur. Her durumda, formül biraz soyut görünse de, çok basittir. Bunu göstermek için A (1), A (2) ve A (3) yerine doğrudan A, B ve C kullanacağımız bir örnek kullanacağız.
Bayes teoremi örneği
Amerika Birleşik Devletleri'nde bir şirketin, su şişeleri için kaplar üreten A, B ve C olmak üzere üç makinesi olan bir fabrikası var. Makine A toplam miktarın %40'ını, Makine B'nin %30'unu ve Makine C'nin %30'unu ürettiği bilinmektedir. Her makinenin kusurlu ambalaj ürettiği de bilinmektedir. A makinesi toplam üretiminin %2'sini, B makinesinin %3'ünü ve C makinesinin %5'ini hatalı ambalajlar üretecek şekilde üretmektedir. Bununla birlikte, iki soru ortaya çıkıyor:
P(A) = 0,40 P (G / A) = 0,02
P(B) = 0,30 P (G / B) = 0,03
P(C) = 0,30 P (D / C) = 0,05
1. Bir konteyner bu şirketin Amerika Birleşik Devletleri'ndeki fabrikasında üretilmişse, kusurlu olma olasılığı nedir?
Toplam olasılık hesaplanır. Çünkü, farklı olaylardan, kusurlu olma olasılığını hesaplıyoruz.
P (D) = (P (A) x P (D / A)) + (P (B) x P (D / B)) + (P (C) x P (D / C)) = (0, 4 x 0,02) + (0,3 x 0,03) + (0,3 x 0,05) = 0,032
Yüzde olarak ifade edersek, bu şirketin Amerika Birleşik Devletleri'ndeki fabrikasında üretilen bir konteynerin kusurlu olma olasılığı %3,2'dir.
2. Bir önceki soruyla devam edersek, eğer bir kap alındıysa ve kusurluysa, bunun A makinesi tarafından ve B makinesi tarafından ve C makinesi tarafından üretilmiş olma olasılığı nedir?
Bayes teoremi burada kullanılır. Ön bilgimiz var, yani ambalajın kusurlu olduğunu biliyoruz. Elbette arızalı olduğunu bilerek, makinelerden biri tarafından üretilmiş olma olasılığının ne olduğunu bilmek isteriz.
P (A / D) = (P (A) x P (D / A)) / P (D) = (0.40 x 0.02) / 0.032 = 0.25
P (B / D) = (P (B) x P (D / B)) / P (D) = (0.30 x 0.03) / 0.032 = 0.28
P (C / D) = (P (C) x P (D / C)) / P (D) = (0.30 x 0.05) / 0.032 = 0.47
Bir kabın kusurlu olduğu bilindiğinde, A makinesi tarafından üretilmiş olma olasılığı %25, B makinesi tarafından üretilmiş olma olasılığı %28 ve C makinesi tarafından üretilmiş olma olasılığı %47'dir.