Varyans-kovaryans matrisi - Nedir, tanımı ve kavramı
Varyans-kovaryans matrisi, ana köşegendeki varyansları ve ana köşegen dışındaki elemanlardaki kovaryansları toplayan nxm boyutlu kare bir matristir.
Başka bir deyişle varyans-kovaryans matrisi, satır ve sütun sayıları aynı olan ve ana köşegen üzerinde dağıtılan varyansları ve ana köşegen dışındaki elemanlar üzerindeki kovaryansları olan bir matristir.
kovaryansmatris gösterimi
Varyans-kovaryans matrisi genellikle şu şekilde ifade edilir:
Toplamın sembolü gibi görünse ve varyans-kovaryans matrisi ile hiçbir ilişkisi yok gibi görünse de, bu Yunan harfi bu matrisin içeriğini mükemmel bir şekilde temsil etmektedir.
Bunu anlamak için önce ifadesine bakalım:
Var olduğunu bilmek m sütunlar, üç nokta, ikinci ve son sütun arasındaki sütunların atlandığını gösterir. Benzer şekilde, var olduğunu bilmek n satırlar, üç nokta, ikinci ve son satır arasındaki satırların atlandığını gösterir.
Bu durumda, kovaryansları temsil etmek için sigma ve varyanslar için sigma karesini kullanırız. Örnek olarak:
Matrisin tüm öğelerinde hangi Yunan harfi görünüyor? Sigma.
Bu nedenle, varyans-kovaryans matrisini tanımlamak için bir sigmanın da kullanılması mantıklıdır.
Yunan harfi
sermaye şeklidir
Yani varyans-kovaryans matrisinin sigmanın büyük harfi olarak ifade edildiğini hatırlarsak tanımını hatırlamamız daha kolay olacaktır.
Varyans-kovaryans matrisi olması için gerekenler
Bir matrisin varyans-kovaryans olması için gereksinimler şunlardır:
- Kare matris: sütunlar (m) ile aynı sayıda satır (n), sonra, n = m ve bu nedenle, bu matrisin boyutu hem nxm hem de nxn olarak ifade edilebilir.
- İçinde ana köşegen var farklılıklar:
- Ana köşegen dışında var kovaryanslar:
Uygulama
Varyans-kovaryans matrisi ekonometride çok popülerdir, çünkü diğer kullanımların yanı sıra, esas olarak Sıradan En Küçük Kareler kullanılarak doğrusal regresyon katsayılarının matris hesaplamasında kullanılır.
Finansta, finansal varlıkların oynaklığının genel bir resmini elde etmek için kullanılır.
Varyans ve kovaryansın matematiksel ifadesi
Matematik şu şekilde ifade edilir:
- n = 1 ve m = 2 öğesinin kovaryansı
- Öğenin varyansı n = 1 ve m = 1
Hem varyans hem de kovaryans düzeltilebilir. Yani payda n yerine n-1'dir. Bu, serbestlik derecelerinden kaynaklanmaktadır ve popülasyondan mı yoksa örnek varyanslarından ve kovaryanslarından mı bahsettiğimize bağlıdır.
