Merkezi Limit Teoremi (TCL), popülasyonun yeterince büyük bir rastgele örneği verildiğinde, örnek ortalamalarının dağılımının normal bir dağılım izleyeceğini belirten istatistiksel bir teoridir.
Ayrıca, TCL, örneklem büyüklüğü arttıkça örneklem ortalamasının popülasyon ortalamasına yaklaşacağını belirtir. Bu nedenle, TCL aracılığıyla belirli bir popülasyonun örnek ortalamasının bilinen bir varyansla dağılımını tanımlayabiliriz. Bu nedenle, örneklem büyüklüğü yeterince büyükse dağılım normal bir dağılım izleyecektir.
Merkezi limit teoreminin temel özellikleri
Merkezi limit teoremi, istatistiksel ve olasılıksal alanda bir dizi çok faydalı özelliğe sahiptir. Başlıcaları:
- Örnek boyutu yeterince büyükse, örnek ortalamalarının dağılımı yaklaşık olarak normal bir dağılım izleyecektir. TCL, boyutu 30'dan büyük olduğunda bir numuneyi büyük olarak kabul eder. Bu nedenle, numune 30'dan büyükse, numune ortalaması normale yakın bir dağılım fonksiyonuna sahip olacaktır. Ve bu, birlikte çalıştığımız dağıtımın biçiminden bağımsız olarak doğrudur.
- Popülasyon ortalaması ve örnek ortalaması aynı olacaktır. Yani, tüm örnek ortalamaların dağılımının ortalaması, toplam popülasyonun ortalamasına eşit olacaktır.
- Numune araçlarının dağılımının varyansı σ² / n olacaktır. Bu, örneklem büyüklüğüne bölünen popülasyonun varyansıdır.
Numune araçlarının dağılımının normal bir dağılıma benzemesi son derece yararlıdır. Çünkü normal dağılımın uygulanması, hipotez testlerinin yapılması ve güven aralıklarının oluşturulması için çok kolaydır. İstatistiklerde bir dağılımın normal olması oldukça önemlidir, çünkü birçok istatistik bu tür bir dağılım gerektirir. Ek olarak, TCL, örnek ortalama aracılığıyla popülasyon ortalaması hakkında çıkarım yapmamıza izin verecektir. Ve bu, araç eksikliğinden dolayı tüm popülasyondan veri toplayamadığımızda çok kullanışlıdır.
Merkezi limit teoremi örneği
Bildiğimiz kadarıyla içinde yaklaşık 500 şirket bulunan S&P 500 endeksinin tarihsel ortalama getirilerini analiz etmek istediğimizi düşünelim. Ancak endekste yer alan 500 şirketin tamamını analiz etmek için yeterli bilgiye sahip değiliz. Bu durumda, S&P 500'ün ortalama karlılığı, nüfus ortalaması olacaktır.
Şimdi, TCL'yi takiben, analizi yapmak için bu 500 şirketten bir örnek alabiliriz. Elimizdeki tek sınırlama, teoremin gerçekleşmesi için örneklemde 30'dan fazla şirket olması gerektiğidir. Diyelim ki endeksten rastgele 50 şirket seçtik ve işlemi birkaç kez tekrarladık. Örnekte izlenecek adımlar aşağıdaki gibi olacaktır:
- Yaklaşık 50 firmanın örneklemini seçiyoruz ve tüm örneklemin ortalama karlılığını elde ediyoruz.
- Sürekli 50 firma seçip ortalama karlılığı elde ediyoruz.
- Seçilen tüm örneklerin tüm ortalama getirilerinin dağılımı, normal bir dağılıma yaklaşacaktır.
- Seçilen tüm örneklerin ortalama getirileri, toplam endeksin ortalama getirilerine yaklaşık olacaktır. Merkezi Limit Teoremi ile gösterildiği gibi.
Bu nedenle, örneğin ortalama getirisinden çıkarım yaparak endeksin ortalama getirisine yaklaşabiliriz.