Bir rastgele değişken X'in matematiksel beklentisi, bu değişkenin temsil ettiği olgunun ortalama değerini ifade eden sayıdır.
Beklenen değer olarak da adlandırılan matematiksel beklenti, rastgele bir olayın var olma olasılıklarının toplamının rastgele olayın değeriyle çarpımına eşittir. Başka bir deyişle, bir veri kümesinin ortalama değeridir. Bu, matematiksel beklenti teriminin olasılık teorisi tarafından üretildiğini dikkate alarak.
Matematikte, meydana gelen bir olayın ortalama değerine matematiksel ortalama denir. Her olayda aynı olasılığa sahip kesikli dağılımlarda aritmetik ortalama matematiksel beklenti ile aynıdır.
Matematiksel beklenti örneği
Bunu anlamak için basit bir örnek görelim.
Bir madeni para düşünelim. İki kafa, kafa ve kuyruk. Tura çıkacağının matematiksel beklentisi (beklenen değer) ne olurdu?
Matematiksel beklenti, madeni parayı çok sayıda çevirerek tura gelme olasılığı olarak hesaplanacaktır.
Madeni para bu iki konumdan sadece birine düşebileceği ve her ikisinin de aynı gelme olasılığına sahip olduğu için, tura geleceğine dair matematiksel beklentinin ikide biri ya da aynı olan %50'si olduğunu söyleyeceğiz. zaman.
Bir test yapacağız ve 10 kez yazı tura atacağız. Madeni paranın mükemmel olduğunu varsayalım.
Döndürme ve sonuç:
- Pahalı.
- Çapraz.
- Çapraz.
- Pahalı.
- Çapraz.
- Pahalı.
- Pahalı.
- Pahalı.
- Çapraz.
- Çapraz.
Kaç kez tura oldu (C'leri sayıyoruz)? 5 kez Yazılar kaç kez çıktı (X'leri sayıyoruz)? 5 kere. Tura gelme olasılığı 5/10 = 0,5 veya yüzde olarak %50 olacaktır.
Bu olay meydana geldiğinde, her olayın meydana gelme sayısının matematiksel ortalamasını hesaplayabiliriz. Pahalı taraf, her iki seferde bir, yani zamanın %50'sinde ortaya çıktı. Ortalama, matematiksel beklentiyle eşleşir.
Matematiksel beklentinin hesaplanması
Matematiksel beklenti, her olayın olasılığı kullanılarak hesaplanır. Bu hesaplamayı resmileştiren formül şu şekilde ifade edilmektedir:
Nerede:
- X = olay değeri.
- P = Olma olasılığı.
- ben = Bu olayın meydana geldiği dönem.
- N = Toplam dönem veya gözlem sayısı.
Bir olayın meydana gelme olasılığı, madeni paralarda olduğu gibi her zaman aynı değildir. Bir olayın ortaya çıkma olasılığının diğerinden daha yüksek olduğu sayısız vaka vardır. Bu yüzden P kullanıyoruz. Formülde matematiksel sayıları hesaplarken de olayın değeri ile çarpmamız gerekiyor. Aşağıda bir örnek görüyoruz.
Matematiksel beklenti ne için kullanılır?
Matematiksel beklenti, olasılıksal olayların varlığının kendilerine içkin olduğu tüm disiplinlerde kullanılır. Teorik istatistikler, kuantum fiziği, ekonometri, biyoloji veya finansal piyasalar gibi disiplinler. Dünyada meydana gelen çok sayıda süreç ve olay yanlıştır. Açık ve anlaşılması kolay bir örnek borsadır.
Borsada her şey beklenen değerlere göre hesaplanır, neden beklenen değerler? Çünkü olmasını umduğumuz şey bu, ancak bunu teyit edemeyiz. Her şey kesinliklere değil, olasılıklara dayalıdır. Bir varlığın getirisinin beklenen değeri veya matematiksel beklentisi yıllık %10 ise, geçmişten aldığımız bilgilere göre getirisinin tekrar %10 olacağı anlamına gelir. Tabii yatırım kararlarımızı alırken sadece matematiksel beklentiyi bir yöntem olarak hesaba katarsak.
Finansal piyasa teorileri içinde birçok kişi bu matematiksel beklenti kavramını kullanır. Bu teoriler arasında Markowitz'in verimli cüzdanlar üzerine geliştirdiği teori var.
Rakamlarla, çok basitleştirecek olursak, bir finansal varlığın getirilerinin aşağıdaki gibi olduğunu varsayalım:
1, 2, 3 ve 4. yıllarda karlılık.
- 12%.
- 6%.
- 15%
- 12%
Beklenen değer, gerçekleşme olasılıkları ile çarpılan getirilerin toplamı olacaktır. Her kârlılığın "gerçekleşme" olasılığı 0.25'tir. Dört yıllık dört gözlemimiz var. Her yıl kendilerini tekrar etme olasılıkları aynıdır.
Umut = (12 x 0,25) + (6 x 0,25) + (15 x 0,25) + (12 x 0,25) = 3 + 1,5 + 3,75 + 3 = %11,25
Bu bilgiyi dikkate alarak varlığın getiri beklentisinin %11,25 olduğunu söyleyeceğiz.
yaşam beklentisi