Chebyshev eşitsizliği - Nedir, tanımı ve kavramı

Chebyshev'in eşitsizliği, sonlu varyansa sahip rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisinden veya ortalamasından belirli bir uzaklıkta olma olasılığının muhafazakar bir tahminini (güven aralığı) sağlayan istatistikte kullanılan bir teoremdir.

Resmi ifadesi aşağıdaki gibidir:

X = Tahmini değer

µ = Tahmini değerin matematiksel beklentisi

Ϭ = Beklenen değerin standart sapması

k = Standart sapma sayısı

Bu genel ifadeden yola çıkarak ve mutlak değer içinde kalan kısmı geliştirerek aşağıdakileri elde ederiz:

Bir önceki ifadeye dikkat edersek, soldaki kısmın bir a'dan fazla olmadığı görülebilir. güven aralığı. Bu bize tahmini değer için hem bir alt hem de bir üst sınır sunar. Bu nedenle, Chebyshev eşitsizliği bize popülasyon parametresinin, ortalamasının üzerinde veya altında belirli sayıda standart sapma içinde olmasının minimum olasılığını söyler. Veya başka bir deyişle, bize popülasyon parametresinin bu güven aralığında olma olasılığını verir.

Chebyshev'in eşitsizliği, tahmin edilen değer için yaklaşık sınırlar sağlar. Bir dereceye kadar belirsiz olmasına rağmen, dağılımlarından bağımsız olarak çok çeşitli rastgele değişkenlere uygulanabildiği için çok kullanışlı bir teoremdir. Bu eşitsizliği kullanabilmek için tek kısıtlama, k'nin 1'den (k> 1) büyük olması gerektiğidir.

Chebyshev eşitsizliğinin uygulama örneği

Bir yatırım fonunun yöneticisi olduğumuzu varsayalım. Yönetmekte olduğumuz portföyün ortalama getirisi %8,14, standart sapması ise %5,12'dir. Örneğin, getirilerimizin yüzde kaçının ortalama karlılığımızdan en az 3 standart sapma olduğunu bilmek için, basitçe önceki ifade 2 formülünü uygulardık.

k = 1,96

k değerini yerine koymak: 1- (1 / (1.96 2)) = 0.739 = %73,9

Bu, sonuçların %73,9'unun ortalamadan 1,96 standart sapmada bulunan güven aralığında olduğu anlamına gelir.

Önceki örneği k dışındaki değerler için yapalım.

k = 2.46
k = 3

k değerini yerine koymak: 1- (1 / (2.46 2)) = 0,835 = %83,5

k değerini yerine koymak: 1- (1 / (3 2)) = 0,889 = %88,9

Verilerin %83,5'i ortalamadan 2,46 standart sapma mesafesinde ve %88,9'u ortalamanın 3 standart sapması içindedir.

Chebyshev'in eşitsizliğini kullanarak, K'nin değeri ne kadar yüksek olursa (tahmin edilen değerin ortalamasından sapması o kadar büyük olursa), rastgele değişkenin sınırlı aralık içinde olma olasılığının o kadar büyük olduğu sonucuna varmak kolaydır.