İki vektörün nokta çarpımı

Koordinatlardaki iki vektörün nokta çarpımı, boyutların sırasını koruyarak her vektörün koordinatlarının çarpımının toplamıdır.

Başka bir deyişle, iki vektörün koordinatlarındaki nokta çarpım, vektörlerin aynı boyutunun koordinatlarının çarpılması ve toplanmasının sonucudur.

Çarpmanın sonucu her zaman bir skaler olacağından, buna nokta çarpımı denir. Bu çarpmanın sonucu, büyüklüğü ifade eden ve yönü olmayan bir sayı olacaktır. Başka bir deyişle, nokta çarpımının sonucu bir vektör değil bir sayı olacaktır. Bu nedenle, ortaya çıkan sayıyı bir vektör olarak değil, herhangi bir sayı olarak ifade edeceğiz.

Vektörlerin çarpımını koordinatlarda ifade etmek için kanonik referans sistemi kullanılır.

Bu yazıda, iki vektörün nokta çarpımını hesaplamanın iki yolunu göreceğiz. Birincisi yukarıda açıklanmıştır, ikincisi ise daha sonra göreceğiz.

İki vektörün çarpımının formülü

Verilen iki vektör:

Nokta ürün aşağıdaki gibi hesaplanır:

İki vektörün nokta çarpımı, boyutları daima korunarak vektörlerin koordinatlarının çarpılmasıyla elde edilir. Başka bir deyişle, yalnızca aynı boyutun koordinatlarını çarpabilirsiniz.

İlk örnekte sorun yok çünkü a vektörü ve b vektörünün ilk koordinatını çarpıyoruz. İkinci örnek yanlış çünkü a vektörünün ilk koordinatını ve b vektörünün ikinci koordinatını çarpıyoruz. Farklı boyutların koordinatlarını çarpmak doğru değil.

k vektörler için skaler çarpım formülü

n koordinatlı verilen k vektörler:

Nokta ürün aşağıdaki gibi hesaplanır:

Birçok boyutu olan birçok vektörümüz olmasına rağmen, nokta çarpım aynı şekilde çalışır: aynı boyuttaki koordinatların çarpımının toplamını yapın.

İki vektörün nokta çarpımını hesaplamak için izlenecek adımlar

1. Çarpmak istediğimiz vektörleri ve koordinatlarını belirleyin.
2. Aynı boyutun koordinatlarını çarpın.
3. Önceki çarpmaları ekleyin.
4. Sonucun tek bir sayı olup olmadığını kontrol edin.

Geometrik tanımlı nokta çarpım

İki vektörün nokta çarpımı, her iki vektörün modüllerinin çarpımı ve vektörlerin açılarının kosinüsü olarak da ifade edilebilir.

İki vektör verildiğinde, nokta çarpım aşağıdaki gibi hesaplanır:

Bu diğer hesaplama biçimini daha ayrıntılı incelemek için aşağıdaki makaleyi ziyaret etmenizi öneririz:

İki vektörün nokta çarpımını hesaplamanın başka bir yolunu görün

Skaler Ürün Örneği

Aşağıdaki vektörlerin nokta çarpımını hesaplayın:

Bir nokta çarpımının sonucu her zaman bir skaler, yani bir sayı olacaktır. Örneğimizin sonucu teoriyle eşleşir ve bu nedenle doğrudur.