Geometrik tanımına göre iki vektörün skaler ürünü, modüllerinin her iki vektörün oluşturduğu açının kosinüsü ile çarpımıdır.
Başka bir deyişle, iki vektörün nokta çarpımı, her iki vektörün modüllerinin çarpımını ve açının kosinüsünü yapmaktır.
skaler çarpım formülü
İki vektör verildiğinde, nokta çarpım aşağıdaki gibi hesaplanır:
Modülün sonucu her zaman bir skaler olacağından, bir açının kosinüsünün de olacağı şekilde buna skaler ürün denir. Bu çarpmanın sonucu, büyüklüğü ifade eden ve yönü olmayan bir sayı olacaktır. Başka bir deyişle, nokta çarpımının sonucu bir vektör değil bir sayı olacaktır. Bu nedenle, ortaya çıkan sayıyı bir vektör olarak değil, herhangi bir sayı olarak ifade edeceğiz.
Her vektörün büyüklüğünü bilmek için modül hesaplanır. Yani, (v) vektörlerinden birinin büyüklüğünü diğer (a) vektörünün büyüklüğü ile her ikisinin oluşturduğu açının kosinüsü ile çarparsak, iki vektörün toplamda ne kadar ölçtüğünü bileceğiz.
(v) vektörünün modülü çarpı açının kosinüsü, v vektörünün a vektörüne izdüşümü olarak da bilinir.
İki vektörün nokta çarpımını hesaplamanın başka bir yolunu görün
süreç
- Vektörlerin modüllerini hesaplayın.
Üç boyutlu herhangi bir vektör verildiğinde,
Bir vektörün modülünü hesaplama formülü:
Vektörün her bir alt indisi boyutları belirtir, bu durumda vektör (a) üç boyutlu bir vektördür çünkü üç koordinatı vardır.
2. Açının kosinüsünü hesaplayın.
İki vektörün nokta çarpımı örneği
Aşağıdaki üç boyutlu vektörlerin oluşturdukları açının 45 derece olduğunu bilerek skaler çarpımını hesaplayın.
Skaler çarpımı hesaplamak için önce vektörlerin modülünü hesaplamamız gerekir:
İki vektörün modüllerini hesapladıktan ve açıyı bildiğimizde, bunları çarpmamız yeterli:
Bu nedenle, önceki vektörlerin nokta çarpımı 1.7320 birimdir.
grafik
Aşağıdaki vektörler üç boyutlu bir grafikte aşağıdaki gibi görünecektir:
(c) vektörü için z bileşeninin sıfır olduğunu görebiliriz, bu nedenle apsis eksenine paralel olacaktır. Bunun yerine, (b) vektörünün z bileşeni pozitiftir, böylece yukarı doğru nasıl eğimli olduğunu görebiliriz. Her iki vektör de pozitif ve aynı olduğu için bileşen açısından pozitiflerin kadranındadır.