Saint Petersburg paradoksu, Nicolaus Bernoulli tarafından gözlemlenen bir paradokstur ve kumarda bulunma nedeni vardır. Bu paradoks bize, karar teorisinde, söz konusu değer bize bunun rasyonel bir karar olmadığını gösterse bile, değerine bakılmaksızın tüm bahislerin kabul edildiğini söyler.
St. Petersburg paradoksu, doğru anlamamız için, Nicolaus Bernoulli'nin kumarı gözlemledikten sonra tarif ettiği bir paradokstu, bu paradoks bu yüzden var.
oyun teorisiBu anlamda, paradoks bize, formüle edilmiş kararlar teorisinin, her bir bahsin varsaydığı miktardan bağımsız olarak, bir bahis oyununda rasyonel kararın her şey olduğunu gösterdiğini söyler. Ancak bu durumu doğru analiz ederek ve teoriye tam olarak dikkat ederek, teorinin rasyonel olduğunu göstermesine rağmen, hiçbir rasyonel varlığın sonsuza yakın bir miktar parayla bahis yapma kararını vermeyi tercih etmeyeceğini gözlemliyoruz. Bu nedenle, paradoks ortaya çıkar.
Başlangıçta, paradoks Nicolaus Bernoulli tarafından, 9 Eylül 1713'te Fransız aristokrat ve matematikçi Pierre de Montmort'a gönderilen bir mektupta görüldüğü gibi gözlemlenir.
Ancak, Nicolaus'un çalışmasından sonuç alınamaması nedeniyle, paradoksu 1715'te Hollanda asıllı bir matematikçi ve Basel Üniversitesi rektörü olan kuzeni Daniel Bernoulli'ye sundu. 1738 yılında yayınlanan “Risk ölçümünde yeni bir teorinin sergilenmesi” adlı çalışmasında yeni bir ölçüm sistemi yayınlanmıştır.
Daniel tarafından önerilen model, Nicolaus tarafından önerilenden farklı olarak, daha sonra beklenen fayda teorisini iyileştirecek ve tamamlayacak olanın temellerini atıyor.
Petersburg paradoks formülü
Nicolaus Bernoulli'nin kuzeni ve Pierre de Montmort'a önerdiği formülasyon şu şekildedir:
Oyuncunun açıkça katılmak için bir miktar ödemesi gereken bir kumar oyunu düşünelim.
Oyuncunun tura bahis yaptığını ve yazı tura gelene kadar art arda parayı fırlattığını varsayalım. Yazılardan sonra oyun durdurulur ve oyuncu 2 n $ alır.
Böylece, eğer tura gelirse, oyuncu önce 2 1 kazanır, bu da 2 $ olur. Ancak tekrar tura gelirse, 2 2 alacak, bu da 4 dolar vb. Tekrar çıkarsa 2 3'e denk gelen 8 dolar olacak; dördüncü kez çıkarsa, ödül 2 4 temsili olmak üzere 16 dolar olacaktır.
Dolayısıyla Nicolaus'un sorusu şuydu: Yukarıda bahsedilen sıralama ve kâr dikkate alındığında, oyuncu rasyonelliğini kaybetmeden bu oyun için ne kadar ödemeye razı olur?
St. Petersburg paradoksu örneği
Nicolaus'un önerdiği formülasyonu ve Fransız matematikçiye ve kuzenine yönelttiği şüpheyi göz önünde bulundurarak, ne demek istediğimizi anlamak için bu paradoksun nedenini bir örnekle görelim.
Her şeyden önce, oyun başlamadan önce sonsuz sayıda olası sonucumuz olduğunu bilmeliyiz. Peki, olasılık 1/2 olsa bile, turalar 8. atışa kadar çıkmayabilir.
Bu nedenle, bu çarpı işaretinin k atışında görünme olasılığı:
Pk = 1 / 2k
Ayrıca, kar 2k.
Geliştirmeye devam ederken, 1. zardaki ilk turalar 2 kazanç sağlar.1 (2 $) ve 1/2 olasılık. 2. denemedeki kuyruklar 2 kazanç sağlar2 (4 dolar) ve 1/2 olasılık2; oysa, üçüncü denemede tura gelirse, oyuncunun 2 galibiyeti vardır.3 (8 $) ve 1/2 olasılık3. Gördüğümüz gibi, koşuları eklediğimiz sürece uzayan bir ilişki.
Devam etmeden önce, karar teorisinde matematiksel beklenti (EM) veya bir oyunun beklenen galibiyeti olarak adlandırdığımız, oyunun olası sonuçlarının her biri ile ilişkili ödüllerin toplamı ve hepsinin ağırlıkça ağırlıklandırıldığı belirtilmelidir. Bu sonuçların her birinin gerçekleşme olasılığı.
Bu paradoksu gösteren yaklaşımı dikkate alırsak, oynarken 2 dolar kazanma olasılığının 1/2 olduğunu ancak buna ek olarak 4 kazanma olasılığının 1/4, 8 dolar kazanma olasılığının ise 1/4 olduğunu görürüz. 1/8. Bu, 64 dolar kazanma gibi durumlara ulaşana kadar, bu davanın olasılığı 1/64'tür.
Bu nedenle, bu sonuçlarla, matematiksel beklentiyi veya oyunun beklenen kazancı olarak bildiğimiz şeyi hesaplarsak, tüm olası sonuçların kazançlarını, oluşma olasılıklarıyla ağırlıklandırarak toplamalıyız, böylece sonuç bize sonsuz bir sayı gösterir. değer.
Seçim teorisini takip edersek, bize her kararın bizim için lehte olduğu basit gerçeği için herhangi bir miktar bahse girmemiz gerektiğini söyler. Şimdi, bunun bir paradoks olduğu gerçeği, rasyonel olarak, teori onu buna zorlasa bile, bir oyuncunun süresiz olarak bahis yapmamasıdır.
Önemli bir paradoks
Bernoulli'nin önerdiği paradoksu deşifre etmeye çalışan birçok matematikçi olmuştur, ancak bunu çözemeyen birçok kişi de vardır.
Dolayısıyla hem oyunun yapısını hem de bireylerin kendi kararlarını ele alan matematikçiler tarafından paradoksun nasıl çözülmeye çalışıldığını gösteren sayısız örnek vardır. Ancak bugüne kadar hala geçerli bir çözüm bulamıyoruz.
Ve bu paradoksun karmaşıklığı hakkında bir fikir edinmek için, bu örnekteki seçim teorisini dikkate alarak, hesaplamadan sonra, sonsuz sayıda madeni paranın olası bir ödül olduğunu varsayıyoruz. mümkün olduğunu varsayarsak, paradoksun söylediğinin aksine sınırlı bir para olduğu için para sisteminin kendisiyle uyumsuz olurdu.
