Bir vektör, doğrusal olarak bağımsız olan diğer vektörlerin doğrusal bir fonksiyonu olarak ifade edilebildiğinde, vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu oluşur.
Başka bir deyişle, vektörlerin lineer kombinasyonu, bir vektörün, birbirinden lineer olarak bağımsız olan diğer vektörlerin lineer bir kombinasyonu olarak ifade edilebilmesidir.
Vektörlerin doğrusal kombinasyonu için gereksinimler
Vektörlerin doğrusal kombinasyonu iki gereksinimi karşılamalıdır:
- Bir vektör, diğer vektörlerin lineer bir kombinasyonu olarak ifade edilebilir.
- Bu diğer vektörlerin birbirinden lineer olarak bağımsız olmasına izin verin.
Analizde doğrusal kombinasyon
Temel matematikte, farkında olmadan lineer kombinasyonları sıklıkla görmeye alışkınız. Örneğin, bir çizgi, bir değişkenin diğerine göre birleşimidir, öyle ki:
Fakat kökler, logaritmalar, üstel fonksiyonlar… oranlar tüm fonksiyon için sabit kalmadığından artık doğrusal kombinasyonlar değildir:
Dolayısıyla, vektörlerin lineer birleşiminden bahsediyorsak, denklemin yapısı aşağıdaki forma sahip olacaktır:
Vektörlerden bahsettiğimiz ve önceki denklem değişkenlere atıfta bulunduğu için, vektörlerin kombinasyonunu oluşturmak için sadece değişkenleri vektörlerle değiştirmemiz gerekir. Aşağıdaki vektörler şöyle olsun:
Dolayısıyla bunları lineer kombinasyon olarak aşağıdaki gibi yazabiliriz:
Vektörler birbirinden lineer olarak bağımsızdır.
Yunan harfi lambda parametre görevi görür m çizginin genel denkleminde. Lambda herhangi bir gerçek sayı olacaktır ve görünmüyorsa değerinin 1'e eşit olduğu söylenir.
Vektörlerin lineer bağımsız olması, vektörlerin hiçbirinin diğerlerinin lineer bir kombinasyonu olarak ifade edilemeyeceği anlamına gelir. Bağımsız vektörlerin uzayın bir tabanını oluşturduğu ve bağımlı vektörün de o uzaya ait olduğu bilinmektedir.
paralel borulu örnek
Üç vektörümüz olduğunu varsayıyoruz ve bunları doğrusal bir kombinasyon olarak ifade etmek istiyoruz. Ayrıca her vektörün aynı tepe noktasından geldiğini ve o tepe noktasının apsisini oluşturduğunu biliyoruz. Geometrik şekil paralel yüzlüdür. Bu vektörlerin oluşturduğu geometrik şeklin paralel yüzlü bir apsis olduğunu bize bildirdikleri için, vektörler şeklin yüzlerini sınırlar.
İlk olarak, vektörlerin lineer bağımlı olup olmadığını bilmeliyiz. Vektörler doğrusal olarak bağımlıysa, onlardan doğrusal bir kombinasyon oluşturamayız.
Üç vektör:
Bize koordinatları hakkında bilgi vermezlerse, vektörlerin lineer bağımlı olup olmadığını nasıl bilebiliriz?
Peki, mantık kullanarak. Vektörler doğrusal olarak bağımlı olsaydı, paralel yüzün tüm yüzleri çökerdi. Başka bir deyişle, aynı olurdu.
Bu nedenle, yeni bir vektörü ifade edebiliriz. w önceki vektörlerin doğrusal kombinasyonunun bir sonucu olarak:
Önceki vektörlerin birleşimini temsil eden vektör:
Grafiksel olarak:
