Ortak dağılım, herhangi iki veya daha fazla rastgele değişkenin gerçekleşmelerinin kesişiminin olasılık dağılımıdır.
Başka bir deyişle, ortak dağılım, iki veya daha fazla rastgele değişkenin gerçekleşmeleri aynı anda gerçekleştiğinde oluşturduğu olasılık dağılımıdır.
Ortak dağıtım temsili
Yalnızca iki rastgele değişken söz konusu olduğunda, iki rastgele değişken olduğundan iki değişkenli dağılım olarak adlandırılır. Daha fazla değişken olması durumunda, çok değişkenli olarak adlandırılır.
Ortak dağılımın uzun adı ortak olasılık dağılımıdır. Bu dağılımların olasılık olduğu zaten bilindiği için isim kısaltılmıştır. İngilizce'de buna “ortak dağıtım” denir.
Kesikli rastgele değişkenler ve sürekli rastgele değişkenler olduğu dikkate alındığında, bu fark ortak dağılımlar için de mevcut olacaktır.
Ayrık rastgele değişkenler için ortak dağılım
İki ayrı rastgele değişken X ve W olsun ve X ve W'nin gerçekleşmeleri x ve w olsun. O zaman (X, W), (X, W)'nin birleşik olasılık yoğunluk fonksiyonundan bir birleşik dağılıma sahip olacaktır.
Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu (fdpc)
fdpc bize x gerçekleşmesi ve w gerçekleşmesinin aynı anda meydana gelme olasılığını verir. Bunun olma olasılığını bilmek için, w'ye bağlı x'in olasılığını x'in meydana gelme olasılığı ile çarpmamız gerekir. Başka bir deyişle, x verildiğinde w'nin gerçekleşme olasılığı ve x'in gerçekleşme olasılığı. Bu şekilde x ve w'nin ortak olasılığını elde edeceğiz.
İki değişkenimiz olduğu için, pdf'yi X rastgele değişkeni veya W rastgele değişkeni açısından ifade edebiliriz.
Bunu yerine getirmek:
Bu kısıtlama, olasılıklar oldukları ve her zaman 0 ile 1 arasında oldukları için ortak olasılıkların toplamının 1 vermesi gerektiğidir.
Sürekli rastgele değişkenler için ortak dağılım
X ve W iki sürekli rastgele değişken olsun ve X ve W'nin gerçekleşmeleri x ve w olsun. O zaman (X, W), (X, W)'nin birleşik olasılık yoğunluk fonksiyonundan bir birleşik dağılıma sahip olacaktır.
Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu (fdpc)
Sürekli durum için mantık, ayrık durum ile aynıdır.
Bu fonksiyonlara marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonları denir. Birincisi rastgele değişken X için, ikincisi rastgele değişken W için.
Bunu yerine getirmek
Bu kısıtlama, olasılıklar oldukları ve her zaman 0 ile 1 arasında oldukları için ortak olasılıkların toplamının 1 vermesi gerektiğidir.
Uygulama
Ekonomide olayların birden fazla rastgele değişken içermesi çok yaygındır, bu nedenle bu değişkenlerin aynı dağılımda nasıl dağıldığını analiz etme ihtiyacı ortaya çıkar.