Beklenen değerlerin özellikleri

Rastgele bir değişkenin beklenen değeri, söz konusu değişkenin gözlem kümesinin aritmetik ortalamasını tasarlayan matematiksel cebire benzer bir kavramdır.

Başka bir deyişle, bir rastgele değişkenin beklenen değeri, bir deneyin birçok kez tekrarlanması sırasında en sık görülen değerdir.

Rastgele bir değişkenin beklenen değerlerinin özellikleri

Rastgele bir değişkenin beklenen değeri, aşağıda geliştirdiğimiz üç özelliğe sahiptir:

Mülk 1

Herhangi bir g sabiti için, bu sabitin beklenen değeri E(g) olarak ifade edilecek ve aynı g sabiti olacaktır. Matematiksel olarak:

E (g) = g

g bir sabit olduğundan, yani herhangi bir değişkene bağlı olmadığından değeri aynı kalacaktır.

Misal

1'in beklenen değeri nedir? Başka bir deyişle, 1 sayısına hangi değeri atayacağız?

E (1) =?

Aynen 1 rakamına 1 değeri veriyoruz ve yıllar geçse de, doğal afetler olsa da değeri değişmiyor. Yani, sabit bir değişkenle uğraşıyoruz ve bu nedenle:

E (1) = 1 veya E (g) = g

Diğer numaraları deneyebilirler.

Mülk 2

Herhangi bir h ve k sabiti için, h · X + k çizgisinin beklenen değeri, h sabitinin çarpımı ile X rastgele değişkeninin beklentisi artı k sabitine eşit olacaktır. Matematiksel olarak:

E (h X + k) = h E (X) + k

Yakından bakın, size çok ünlü bir düzlüğü hatırlatmıyor mu? Aynen, regresyon çizgisi.

Değiştirirsek:

E (hX + k) = Y

E (X) = X

k = B₀

h = B₁

Sahip olmak:

Y = B₀ + B₁X

B katsayıları tahmin edildiğinde₀ , B₁ , yani, B₀ , B₁ , bunlar tüm örnek için aynı kalır. Yani, özellik 1'i uyguluyoruz:

E (B₀) = B₀

E (B₁) = B₁

Burada ayrıca yansızlık özelliğini de buluyoruz, yani tahmin edicinin beklenen değeri, popülasyon değerine eşittir.

E (h · X + k) = h · E (X) + k'ye dönersek, regresyon çizgilerinden sonuçlar çıkarırken Y'nin E (h · X + k) olduğunu akılda tutmak önemlidir. Başka bir deyişle, X bir arttığında Y arttığını söylemek olur. yarım h birim, çünkü Y, h satırının beklenen değeridir · X + k.

Mülk 3

H sabitlerin vektörü ve X rasgele değişkenlerin vektörü ise, beklenen değer beklenen değerlerin toplamı olarak ifade edilebilir.

H = (s₁ , h_2, , …, h_n)

X = (X₁ , X_2, ,…, X_n)

Hey₁X₁ + h₂X₂ +… + H_nX_n) = h₁·ESKİ₁) + h₂·ESKİ₂) +… + H_n·ESKİ_n)

Toplamlarla ifade edilir:

Bu özellik, matematiksel istatistik alanındaki türevler için çok kullanışlıdır.