Bir üçgenin ağırlık merkezi, şeklin medyanlarının kesiştiği noktadır. Aynı zamanda bir centroid olarak da bilinir.
Unutulmamalıdır ki, medyan üçgenin tepe noktasını karşı tarafının orta noktasıyla birleştiren doğru parçasıdır. Böylece her üçgenin üç medyanı vardır.
Örneğin, yukarıdaki üçgende ağırlık merkezi O noktasıdır ve medyanlar AF, BD ve CE segmentleridir.
Ağırlık merkezinin önemli bir özelliği, her bir tepe noktasına olan uzaklığının karşı tarafa olan uzaklığının iki katı olmasıdır.
Daha iyi açıklamak için, her ortancada iki kısım ayırt edilebilir:
- Ortanca uzunluğunun 2/3'ü olan tepe noktasından ağırlık merkezine olan mesafe
- Kalan 1/3, ağırlık merkezinden karşı tarafın orta noktasına kadar olan mesafedir.
Örneğin yukarıdaki resimde şu doğrudur:
Bir üçgenin ağırlık merkezi nasıl bulunur
Üçgenin ağırlık merkezini bulmak için, üçgenin üç köşesinin koordinatlarını bilerek, ağırlık merkezinin koordinatlarının aritmetik ortalamasına karşılık geldiğini hesaba katmalıyız. Öyleyse, köşelerin şöyle olduğunu varsayalım:
O halde O diyeceğimiz ağırlık merkezinin koordinatları şöyle olacaktır:
Şimdi, en az iki medyanı içeren doğruların denklemlerine sahipsek, ağırlık merkezini bulmak da mümkündür.
Analitik geometride bir doğrunun birinci dereceden cebirsel denklem olarak şu şekilde ifade edilebileceğini hatırlayın:
y = xm + b
Gösterilen denklemde y ordinat ekseni üzerindeki koordinat (dikey), x apsis ekseni üzerindeki koordinat (yatay), m apsis eksenine göre doğruyu oluşturan eğim (eğim) ve b ise doğrunun ordinat eksenini kestiği nokta.
Yukarıdakileri daha iyi anlamak için bir örneğe bakalım.
Ağırlık merkezi örneği
İki köşesini bildiğimiz bir üçgenimiz olduğunu varsayalım:
A (0,4) ve B (-2,1)
Şimdi, A köşesinin karşısındaki kenarın orta noktasının (3,1) ve B köşesinin karşısındaki kenarın orta noktasının (4, 2,5) olduğu da bilinmektedir. Ondalık sayıları ayıran virgülle karıştırılmaması için noktalı virgül kullandığımızı belirtmekte fayda var.
İlk önce, bir noktadan diğerine geçerken eğimin her zaman aynı olması gerektiğini hesaba katarak, A köşesinden başlayan medyanı içeren doğrunun denklemini bulacağız. Eğim, yatay eksendeki varyasyon arasındaki dikey eksendeki varyasyondur:
Yaptığımız, çizginin A (0, 4) köşesi olan bir (x1, y1) noktasından ve karşı tarafının (3 , 1).
Sonra aynısını B köşesi (-2,1) ve karşı tarafının orta noktası (-4, -2,5) için yapıyoruz:
Sonraki adımda, her ikisi de çakıştığında X eksenindeki değeri çözmek için bulunan iki denklemin sağ tarafını eşitleriz:
Sonra y'nin değerini bulmak için herhangi bir denklemde çözeriz:
Bu nedenle, üçgenin ağırlık merkezi Kartezyen düzlemde (2,2) noktasıdır.
