Binom dağılımı, rastgele bir değişken üzerinde n bağımsız deney gerçekleştirirken elde edilen başarıların sayısını tanımlayan ayrık bir olasılık dağılımıdır..
Bu olasılık dağılımı altında karakterize edilebilecek çok çeşitli deneyler veya olaylar vardır. "Tura vurma" olayını başarı olarak tanımladığımız bir yazı tura hayal edin. Madeni parayı 5 kez atar ve elde ettiğimiz isabetleri (yazıları) sayarsak, olasılık dağılımımız bir binom dağılımına uyacaktır.
Bu nedenle, binom dağılımı, yalnızca 2 sonuca (başarı veya başarısızlık) sahip olabileceğimiz bir dizi test veya deneme olarak anlaşılır, başarı rastgele değişkenimizdir.
Binom dağılımının özellikleri
Rastgele bir değişkenin binom dağılımını takip etmesi için aşağıdaki özellikleri karşılaması gerekir:
- Her deneme, deney veya testte yalnızca iki sonuç (başarı veya başarısızlık) mümkündür.
- Başarı olasılığı sabit olmalıdır. Bu, p harfi ile temsil edilir. Yazı tura gelme olasılığı 0,5'tir ve yazı tura gelme olasılığı sabit olduğundan ve her deneyde yazı tura değişmediğinden bu sabittir.
- Başarısızlık olasılığı da sabit olmalıdır. Bu, q = 1-p harfi ile temsil edilir. Unutulmamalıdır ki, bu denklem aracılığıyla, p'yi bilerek veya q'yu bilerek eksik olanı elde edebiliriz.
- Her deneyde elde edilen sonuç bir öncekinden bağımsızdır. Bu nedenle, her deneyde olanlar, sonrakileri etkilemez.
- Olaylar birbirini dışlar, yani ikisi aynı anda gerçekleşemez. Aynı anda hem erkek hem de kadın olmak ya da yazı tura atarken aynı anda hem tura hem de tura çıkması mümkün değildir.
- Olaylar toplu olarak ayrıntılıdır, yani 2'den en az birinin gerçekleşmesi gerekir. Erkek değilsen kadınsın ve yazı tura atarsan yazı gelmezse yazı tura olmalı.
- Bir binom dağılımını izleyen rastgele değişken genellikle X ~ (n, p) olarak temsil edilir; burada n, deneme veya deneylerin sayısını ve p başarı olasılığını temsil eder.
Binom dağılımının formülü
Normal dağılımı hesaplamak için formül:
Nerede:
n = Deneme / deney sayısı
x = Başarı sayısı
p = Başarı olasılığı
q = Arıza olasılığı (1-p)
Köşeli parantez içindeki ifadenin bir matris ifadesi olmadığını, tekrarsız bir kombinatoryalin sonucu olduğunu belirtmek önemlidir. Bu, aşağıdaki formülle elde edilir:
Önceki ifadedeki ünlem işareti, faktöriyel sembolü temsil eder.
Binom dağılımı örneği
Dünyadaki insanların %80'inin son Dünya Kupası'nın son maçını izlediğini düşünelim. Etkinlikten sonra 4 arkadaş konuşmak için buluşur.3 tanesinin oyunu görmüş olma olasılığı nedir?
Deneyin değişkenlerini tanımlayalım:
n = 4 (sahip olduğumuz toplam örnek)
x = başarı sayısı, bu durumda 3'e eşittir, çünkü 4 arkadaştan 3'ünün görme olasılığını arıyoruz.
p = başarı olasılığı (0.8)
q = başarısızlık olasılığı (0.2). Bu sonuç 1-p çıkarılarak elde edilir.
Tüm değişkenlerimizi tanımladıktan sonra sadece formülde yerine koyarız.
Faktöriyelin payı 4 * 3 * 2 * 1 = 24 ile çarpılarak elde edilir ve paydada 3 * 2 * 1 * 1 = 6 olur. Dolayısıyla faktöriyelin sonucu 24/6 = 4 olur. .
Parantezin dışında iki numaramız var. Birincisi 0,8 3 = 0,512 ve ikincisi 0,2 olacaktır (4-3 = 1 ve 1'e yükseltilmiş herhangi bir sayı aynı olduğundan).
Bu nedenle, nihai sonucumuz şöyle olacaktır: 4 * 0.512 * 0.2 = 0.4096. 100 ile çarparsak, 4 arkadaştan 3'ünün Dünya Kupası final maçını görmüş olma olasılığı %40.96'dır.