Olayların kesişimi, sonucu iki veya daha fazla kümenin tekrarlanmayan ve ortak olaylarından oluşan bir işlemdir.
Daha basit bir ifadeyle, iki A ve B olayı verildiğinde, kesişimlerinin ortak olan temel olaylardan oluştuğunu söyleyeceğiz. Olayların kesişiminin şu soruyu yanıtlamayı ima ettiğini de belirtebiliriz: A ve B'nin aynı anda meydana gelme olasılığı nedir?
Kavşağın gösterildiği sembol şudur: ∩. Ters U gibi. Böylece, A ve B'nin kesişimini belirtmek istersek, şunu koyarız: A ∩ B
Olayların kesişiminin genelleştirilmesi
Açıklamada şimdiye kadar iki olayın kesişimini gördük. Örneğin, A ∩ B veya B ∩ A. Şimdi, ikiden fazla olayımız olursa ne olur?
Olayların kesişimini genelleştirmek, örneğin 50 olayın kesişimini belirtmek için bize bir çözüm sunar. 7 olayımız olduğunu varsayalım, aşağıdaki gösterimi kullanacağız:
Her olaya A, B veya herhangi bir harf demek yerine, Evet diyeceğiz. S olaydır ve i alt simgesi sayıyı gösterir. Bu şekilde, 7 olay örneğinde aşağıdaki formüle sahip olacağız:
Yaptığımız şey notasyonu geliştirmek. Sadece ne anlama geldiğini görmektir, ancak yalnızca eşit olanı önüne koyarak bu gelişimin ne anlama geldiğini bileceksiniz. Yukarıda, sezgisel olarak, 'S1 çıkış ve S2 çıkış ve S3 çıkış ve S4 çıkış ve S5 çıkış ve S6 çıkış ve S7 çıkış' diyeceğiz. Yani 7 olayın sahip olduğu ortak unsurlar olacaktır.
Ayrık ve ayrık olmayan olayların kesişimi
Ayrık olayların kesişimi basitçe var olamaz. Açıkçası, eğer iki olay ayrıksa, ortak hiçbir unsuru olmadığını söyleyeceğiz. Ve ortak öğeleri yoksa, sonuç boş küme veya imkansız olaydır.
Ayrık olmayan olaylar durumunda, kesişmenin sonucu ortak unsurlar olacaktır. Ayrık olayların kesişiminin neden var olamayacağına dair bir örnek görelim:
(1,2,3,4,5,6)'dan oluşan bir örnek uzayımız olduğunu varsayalım, burada:
A: 1 veya 2 gelsin (1,2)
B: Bu, 5'e eşit veya daha büyük çıkıyor (5,6)
A ∩ B = Ø
Kavşak yok. imkansız bir olaydır. Bu, olayların ayrık olması nedeniyle oluşur. Yani ortak hiçbir unsuru yoktur.
Kendi adına, ayrık olmayan olayların kesişimi şu şekilde hesaplanır:
Olayların kesişiminin özellikleri
Olayların birleşimi bir tür matematiksel işlemdir. Bazı işlem türleri de toplama, çıkarma, çarpmadır. Her birinin bir dizi özelliği vardır. Örneğin, 3 + 4'ü toplamanın sonucunun 4 +3'ü toplamanın sonucuyla tamamen aynı olduğunu biliyoruz. Bu noktada, olay birliğinin bilinmeye değer birkaç özelliği vardır:
- değişmeli: Bu, yazıldığı sıranın sonucu değiştirmediği anlamına gelir. Örneğin:
- A ∩ B = B ∩ A
- C ∩ D = D ∩ C
- ilişkisel: Üç olay olduğunu varsayarsak, hangisinin önce, hangisinin daha sonra yapılacağı umurumuzda değil. Örneğin:
- (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
- (A ∩ C) U B = (A ∩ B) ∩ C
- Dağıtıcı: İşlemin kesişim türünü dahil ettiğimizde, dağılım özelliği tutar. Sadece aşağıdaki örneğe bakın:
- A ∩ (B U C) = (A U B) U (A U C)
Bu özelliklere baktığımızda, olay birleşimi durumundakiyle tam olarak aynı olduklarını kolayca görebiliriz.
Olay Kavşağı Örneği
A ve B olaylarının birleşimine basit bir örnek aşağıdaki gibi olabilir. Kusursuz bir zar atma durumunu varsayalım. 1'den 6'ya kadar numaralandırılmış altı yüzü olan bir zar. Olaylar aşağıda tanımlanacak şekilde:
KİME: 2'den büyük olması (3,4,5,6) olasılıkla 4/6 => P (A) = 0.67
C: Beş tanesi çıksın. (5) olasılıkla 1/6 => P (C) = 0.17
A ∩ C olasılığı nedir?
P (A ∩ C) = P (A) + P (C) - P (A U C)
P (A) ve P (C) zaten sahip olduğundan, P (A U C) hesaplayacağız.
A U C = (3,4,5,6) olasılıklarda P (A U C) = 4/6 = 0.67
Sonuç:
P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A ∩ C) = 0,67 + 0,17 - 0,67 = 0,17 (%17)
2'den büyük çıkma ve aynı anda 5 çıkma olasılığı %17'dir.