Olayların birliği, sonucu iki veya daha fazla kümenin ortak olan ve ortak olmayan tüm tekrarlanmayan temel olaylarından oluşan bir işlemdir.
Yani, A ve B kümeleri verildiğinde, A ve B'nin birleşimi, A ve B'ye sahip tekrar etmeyen tüm kümeler tarafından oluşturulacaktır. Sezgisel olarak, A ve B olaylarının birleşiminin olasılığı, soru: A'nın çıkma veya B'nin çıkma olasılığı nedir?
Olayların birleşiminin sembolü U'dur. Öyle ki, B ve D olaylarının birleşimini matematiksel olarak fark etmek istiyorsak, bunu şu şekilde fark ederiz: B U D.
Olay birliği genellemesi
Şimdiye kadar iki olayın birleşimini gördük ve belirttik. Örneğin, A U B veya B U D. Peki ya üç, dört ve hatta yüz tane olayımız varsa?
Buna genelleme diyoruz, yani bu durumlarda olayların birliğini fark etmemize yardımcı olan bir formül. 8 olayımız varsa, on olayı yazmak yerine aşağıdaki gösterimi kullanacağız:
Her olaya A, B veya herhangi bir harf demek yerine, Evet diyeceğiz. S olaydır ve i alt simgesi sayıyı gösterir. 10 olay örneğine uyguladığımız şekilde, aşağıdakileri elde edeceğiz:
Bizim yaptığımız önceki gösterimi uygulamak ve geliştirmek. Şimdi, her zaman ihtiyacımız olmayacak. Özellikle çok sayıda olay söz konusu olduğunda.
Ayrık ve ayrık olmayan olayların birliği
Ayrık olaylar kavramının gösterdiği şey, iki olayın ortak hiçbir unsurunun olmadığıdır.
Ayrık olduklarında, olay birleştirme işlemi basittir. Bir veya diğer olayın meydana gelme olasılığını elde etmek için yalnızca her ikisinin de olasılıklarını eklemeniz gerekir. Ancak olaylar birbirinden kopuk olmadığında küçük bir detay eklenmelidir. Tekrarlanan unsurlar ortadan kaldırılmalıdır. Örneğin:
1'den 5'e kadar giden bir sonuç uzayı varsayalım. Olaylar aşağıdaki gibidir:
A Olayı: (1,2,4) -> %60 olasılık = 0,6
B Olayı: (1,4,5) -> %60 olasılık = 0,6
A U B işlemi, sezgisel olarak, A olaylarını ve B olaylarını toplamak olacaktır, ancak bunu yaparsak, olasılık 1,2 (0,6 + 0,6) olacaktır. Olasılık aksiyomlarının gösterdiği gibi, olasılık her zaman 0 ile 1 arasında olmalıdır. Bunu nasıl çözeriz? A ve B olaylarının kesişimini çıkarma. Yani, tekrarlanan öğeleri çıkarma:
A + B = (1,1,2,4,4,5)
A ∩ B = (1,4)
A U B = A + B - (A ∩ B) = (1,2,4,5)
Olasılıklara dönersek, şunları yapmamız gerekir:
P (A U B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B) = 0,6 +0,6 - 0,4 = 0,8 (%80)
Gerçekten de 1 veya 2 veya 4 veya 5 gelme olasılığı.Bütün sayıların gelme olasılığının aynı olduğunu varsayarsak %80'dir.
Grafiksel olarak şöyle görünecektir:
Etkinlik Birliği Özellikleri
Olay birleştirme, bir tür matematiksel işlemdir. Bazı işlem türleri de toplama, çıkarma, çarpmadır. Her birinin bir dizi özelliği vardır. Örneğin, 3 + 4'ü toplamanın sonucunun 4 +3'ü toplamanın sonucuyla tamamen aynı olduğunu biliyoruz. Bu noktada, olay birliğinin bilinmeye değer birkaç özelliği vardır:
- değişmeli: Bu, yazıldığı sıranın sonucu değiştirmediği anlamına gelir. Örneğin:
- A U B = B U A
- C U D = D U C
- ilişkisel: Üç olay olduğunu varsayarsak, hangisinin önce, hangisinin daha sonra yapılacağı umurumuzda değil. Örneğin:
- (A U B) U C = A U (B U C)
- (A U C) U B = (A U B) U C
- Dağıtıcı: İşlemin kesişim türünü dahil ettiğimizde, dağılım özelliği tutar. Sadece aşağıdaki örneğe bakın:
- A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
Etkinlik Birliği Örneği
A ve B olaylarının birleşimine basit bir örnek aşağıdaki gibi olabilir. Kusursuz bir zar atma durumunu varsayalım. 1'den 6'ya kadar numaralandırılmış altı yüzü olan bir zar. Olaylar aşağıda tanımlanacak şekilde:
KİME: 2'den büyük olması (3,4,5,6) olasılıkla 4/6 => P (A) = 0.67
C: Beş tanesi çıksın. (5) olasılıkla 1/6 => P (C) = 0.17
A U C olasılığı nedir?
P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A ∩ C)
P (A) ve P (C) zaten sahip olduğundan, P (A ∩ C) hesaplayacağız.
A ∩ C = (5) olasılıklarda P (A ∩ C) = 1/6 = 0.17
Sonuç:
P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A ∩ C) = 0,67 + 0,17 - 0,17 = 0,67 (%67)
2'den fazla yuvarlama veya 5 yuvarlama olasılığı %67'dir.