Darmois teoremi, yeterli özelliği olan bir parametre θ için bir T istatistiği bulmayı sağlayan bir teoremdir.
Daha da basit bir deyişle, yeterli bir istatistiğin varsa matematiksel ifadesini bulmayı sağlar.
Fisher-Neyman faktoring kriteri ile ilgili olarak bir değerlendirme yapabiliriz. Fisher-Neyman çarpanlarına ayırma kriteri hem bir istatistiğin yeterli olma özelliğini karşılayıp karşılamadığını kontrol etmeye hem de yeterli bir istatistiğin (varsa) matematiksel ifadesini bulmaya hizmet eder. Buna karşılık, Darmois teoremi, yalnızca yeterli bir istatistiğin matematiksel ifadesinin (varsa) bulunmasına izin verir.
Diyelim ki Fisher-Neyman faktoring kriteri ileri (arama) ve geri (kontrol) hareket ederken, Darmois teoremi sadece ileri (arama) hareket ediyor.
Darmois teoremi formülü
Teorik olarak, yoğunluk fonksiyonu f (x; θ) ile θ ∈ Ω olan bir rastgele değişken X'in basit bir rastgele örneği verildiğinde ifade edilir. Bu fonksiyon üstel aileye aitse, yani şu şekilde ifade edilebilir:
f (x; θ) = β (θ) × b (x) × e (a (x) × α (θ)
Sonra istatistik T = T (x1,…, xn) = Σ a (x)
Hesaplamaları kolaylaştırmak için genellikle logaritmik gösterim yapılır:
lnf (x; θ) = lnβ (θ) + lnb (x) + (a (x) × α (θ))
Tabii ki, tüm bu matematiksel gösterimi anlamak zor. Birçok bilinmeyen, birçok harf, birçok operatör ortaya çıkıyor. Günlük konuşma dilindeki kelimelerle yeniden tanımlayalım. Bu amaçla, bir örneğe uygulanan teorik tanımla başlayacağız:
Belirli bir yoğunluk fonksiyonuyla (bkz. yoğunluk fonksiyonu) tatlılara (rastgele değişken X) haftada ne kadar para harcadıklarını sorduğumuz 50 çocuktan oluşan rastgele bir örneklem (basit rastgele örnek) varsayalım. O halde bu yoğunluk fonksiyonu ise şu şekilde ifade edilebilir:
Yeterli istatistiğin a (x) ifadesinin toplamı olduğunu belirleyeceğiz.
Formülün bölümleri şu şekilde tanımlanır:
- lnβ (θ): Sadece parametreye bağlı olan bir fonksiyondur (bizim durumumuzda ortalama)
- lnb (x): Sadece rastgele değişken X'e bağlı olan bir fonksiyondur.
- a (x): Yalnızca X'e bağlı olan ve α (θ) ile çarpan bir fonksiyondur.
- α (θ): Sadece parametreye bağlı olan bir fonksiyondur (bizim durumumuzda ortalama)
pratikte Darmois' teoremi
Hepimizin yeni istatistikleri keşfetme yeteneği ve araçları olmasına rağmen, bu nadiren normdur. Başka bir deyişle, ekonomi profesörleri ve alanında uzman kişiler bu konularda araştırma yapmaktadır.
Kişisel olarak, kendini bu tür bir araştırma yapmaya adamış birini bulmak zordur. Dolayısıyla pratikte bu teoremle ilgili önemli olan, kullandığımız bu istatistiklerin nereden geldiğini anlamaktır.
Örneğin, birinin ortalamanın yeterli bir istatistik olduğunu keşfetmesi için muhtemelen bu süreci kullanmıştır.