Bükülme noktası - Nedir, tanımı ve kavramı

Matematiksel bir fonksiyonun bükülme noktası, onu temsil eden grafiğin içbükeyliğini değiştirdiği noktadır. Yani, içbükey olmaktan dışbükey olmaya ya da tam tersi.

Başka bir deyişle, bükülme noktası, fonksiyonun trend değiştirdiği andır.

Bir fikir edinmek için, kabaca bir grafik temsiline bakarak başlayalım:

Bir fonksiyonun birden fazla bükülme noktasına sahip olabileceği veya hiç olmadığı belirtilmelidir. Örneğin bir doğrunun büküm noktası yoktur.

Aşağıdaki grafikte, birden fazla bükülme noktası olan bir fonksiyon örneğini görelim:

Ayrıca matematiksel terimlerle, fonksiyonun ikinci türevi sıfıra eşitlenerek bükülme noktası hesaplanır. Böylece, bu denklemin kökünü (veya köklerini) çözeriz ve ona Xi diyeceğiz.

Sonra Xi'yi fonksiyonun üçüncü türevinde değiştiririz. Sonuç sıfırdan farklıysa, bir bükülme noktasıyla karşı karşıyayız.

Ancak, sonuç sıfır ise, bu türevin değeri, ister üçüncü, ister dördüncü veya beşinci olsun, 0'dan farklı olana kadar, ardışık türevlerde yerine koymalıyız. Türev tek ise, bir bükülme noktasıdır, ancak eğer hayır ise.

Dönüm noktası örneği

Ardından, bir örneğe bakalım.

Aşağıdaki fonksiyona sahip olduğumuzu varsayalım:

y = 2x⁴+ 5x³+ 9x + 14

y '= 8x³+ 15x²+9

y »= 24x²+ 30x = 0

24x = -30

Xi = -1.25

Sonra Xi'yi üçüncü türevde değiştiririz:

y »' = 48x

y »' = 48x-1.25 = -60

Sonuç sıfırdan farklı olduğu için, aşağıdaki grafikte gösterildiği gibi, kendimizi x'in -1.25'e ve y'nin -2.1328'e eşit olduğu zaman olacak bir bükülme noktasının önünde buluyoruz.

Burada fonksiyonun bir bükülme noktasına sahip olduğu gözlemlenir:

Şimdi başka bir örneğe bakalım:

y = x⁴-54x²

y '= 4x³-108x

y »= 12x²-108=0

x²=9

Xi = 3 ve -3

Ardından, üçüncü türevde bulunan iki kökü yerine koyarız:

y »' = 24x

y »' = 24 × 3 = 72

y »’ = 24x-3 = -72

Sonuç sıfır olmadığı için, (3,567) ve (-3,567)'de iki bükülme noktamız var.

Bilgileri tamamlamak için sizi bu kavramı daha genel bir şekilde ele aldığımız çekim makalesini ziyaret etmeye davet ediyoruz: