Set cebiri - Nedir, tanımı ve kavramı

Küme cebiri, matematik ve mantık içinde kümeler arasında yapılabilecek işlemlere odaklanan bir çalışma alanıdır.

Küme cebiri, küme teorisi olarak bildiğimiz şeyin bir parçasıdır.

Bir kümenin, diğerleri arasında harfler, sayılar, semboller, işlevler, geometrik şekiller gibi farklı türdeki öğelerin gruplandırılması olduğu unutulmamalıdır.

İşlemleri ayarla

Kümelerle yapılan ana işlemler şunlardır:

• Birlik: İki veya daha fazla kümenin birleşimi, bu kümelerden en az birine ait olan tüm öğeleri içerir. U harfi ile gösterilir.

A = (9,34,57,6,9)

B = (10,41,57,9,16)

AUB = (9,34,57,6,9,10,41,16)

• Kavşak: İki veya daha fazla kümenin kesişimi, bu kümelerin paylaştığı öğeleri içerir. Ters U (∩) ile gösterilir. Misal:

A = (a, r, t, ben, c, o)

B = (i, n, d, ben, c, o)

A∩B = (i, c, o)

• Fark: Bir kümenin diğerine göre farkı, birinci kümenin elemanları eksi ikinci kümenin elemanlarına eşittir. sembolü veya - ile gösterilir. Başka bir şekilde bakıldığında, x ∈ a A B ise x ∈ A, ancak x ∉ B. Örnek:

A = (21,34,56,17,7)

B = (78,21,17,36,80)

A-B = (34,56,7)

• Tamamlayıcı: Bir kümenin tümleyeni, o kümede bulunmayan (ancak başka bir evrensel referans kümesine ait olan) tüm öğeleri içerir. Üst simge C ile gösterilir. Örnek:

A = (3,9,12,15,18)

U (Evren) = 30'dan küçük tam doğal sayılar olan 3'ün tüm katları.

KİME^C=(6,21,24,27)

• Simetrik fark: İki kümenin simetrik farkı, bir veya diğerinde bulunan ancak aynı anda her ikisinde birden olmayan tüm öğeleri içerir. Yani, kümelerin birleşimi eksi kesişimleridir. Sembolü Δ'dir. Misal:

A = (17.81.99.131.65.32)

B = (11.54.71.65.99.27)

AAB = (17,81,131,32,11,54,71,27)

• Kartezyen ürün: İki veya daha fazla kümeye ait öğelerin sıralı çiftlerini veya demetlerini (sıralı seriler) içeren yeni bir kümeyle sonuçlanan bir işlemdir. İki küme ise çiftler ve ikiden fazla kümemiz varsa demetler olarak sıralanırlar. Misal:

A = (8,15,6,51)

B = (x, y)

AxB = ((8, x), (8, y), (15, x), (15, y), (6, x), (6, y), (51, x), (51, y) )

BxA = ((x, 8), (x, 15), (x, 6), (x, 51), (y, 8), (y, 15), (y, 6), (y, 51) )

Küme cebirinin yasaları

Küme cebirinin yasaları aşağıdaki gibidir:

• Yetersizlik: Bir kümenin kendisiyle birleşimi veya kesişimi aynı kümeyle sonuçlanır:

XUX = X

X∩X = X

• değişmeli: Faktörlerin sırası, kümelerin birleşimini veya kesişimini bulurken sonucu değiştirmez:

XUY = XUY

X∩Y = X∩Y

• Dağıtıcı: Bir X kümesinin, diğer iki Y ve Z kümesinin kesişimiyle birleşimi, X ve Y'nin birleşiminin, X ve Z'nin birleşimiyle kesişimine eşittir. Yani:

XU (Y∩Z) = (XUY) ∩ (XUZ)

Ayrıca, işlem sırasını tersine çevirirsek aynı şey geçerlidir:

X∩ (YUZ) = (X∩Y) U (X∩Z)

• ilişkisel: Birkaç kümenin birleşim veya kesişim işleminin terimleri, her zaman aynı sonucu elde ederek belirsiz bir şekilde gruplandırılabilir:

XU (XUY) = (XUY) UZ

X∩ (X∩Y) = (X∩Y) ∩Z

• Morgan Yasası: İki kümenin birleşiminin tümleyeni, tümleyenlerinin kesişimine, iki kümenin kesişiminin tümleyeni, tümleyenlerinin birleşimine eşittir.

(XUY)^C= X^C∩Y^C

(X∩Y)^C= X^CUy^C

• Fark yasası: Bir kümenin diğerine göre farkı, birincinin ikincinin tümleyeniyle kesişimine eşittir:

(X-Y) = X∩Y^C

• Tamamlayıcı yasalar:
  • Bir kümenin tümleyeniyle birleşimi evrensel kümeye eşit değildir. XUX^C= U
  • Bir kümenin tümleyeni ile kesişimi, boş veya boş kümeye eşittir. X∩X^C=∅
  • Bir X kümesinin tümleyeninin tümleyeni, X kümesine eşittir. (X^C)^C= X
  • Evrensel kümenin tümleyeni boş veya boş kümeye eşittir. X^C=∅
  • Boş kümenin tümleyeni evrensel kümeye eşittir. ∅^C= U

• Absorpsiyon yasaları:
  • XU (X∩Y) = X
  • X∩ (XUY) = X
  • XU (X^C∩Y) = XUY
  • X∩ (X^CUY) = X∩Y