Üstel fonksiyon, bir bileşik bileşikte ilgilenilen hesaplama sıklığının sonsuz olarak (p sonsuz olma eğilimindeyken) artmasının sonucu olan sürekli bileşik oluşturmanın temelidir.
Başka bir deyişle, üstel fonksiyon, faiz hesaplamaları arasındaki zaman periyodlarının sonsuz küçük (çok küçük) olduğu bir bileşik bileşiktir.
Üstel fonksiyonun formülü şudur:
Sürekli bileşik şu şekilde ifade edilebilir:
Sürekli büyük harf kullanımı ile üstel fonksiyon arasında makul benzerlikler var, değil mi?
Sürekli büyük harf kullanımı değişkenlerini tanımlarız:
- Ct + 1: t + 1 zamanındaki sermaye (daha sonra).
- Ct: t zamanındaki sermaye (mevcut).
- bent: t zamanındaki faiz oranı.
- p: bileşik sıklığı veya periyodiklik.
- t: zaman.
Uygulamalar
Finansta, üstel işlevi, gelecekteki gelirin sürekli kapitalizasyonu formülünde ve bazı ekonometrik regresyonlarda sıklıkla buluruz.
Ekonomide o kadar popüler değil çünkü çoğu mikro ekonomik ve makroekonomik model, üretim faktörlerinde azalan marjinal getirileri varsayıyor. Sonuç olarak, faktörlerin logaritmik getirileri takip ettiğini ve dolayısıyla üstel fonksiyona aykırı olarak geri döndüklerini varsayıyorlar.
Üstel fonksiyon örneği
Venezüella Pico Bolivar'da kayak pisti yapmak isteyen Amerikalı bir yatırımcı olduğumuzu varsayıyoruz. İlk yatırım, yıllık %100 faiz oranıyla 100 Milyon Dolardır. Bu yatırımcı, yatırımının faizinin hesaplanmasının periyodikliğini belirlemek için yeterli pazarlık gücüne sahiptir.
Amerikalı yatırımcı hangi alternatifi tercih edecek?
Soruyu cevaplamak için, sermayeyi zamanında hesaplamamız gerekecek. t + 1 (Ct + 1) yatırımcının alacağıdır.
Mevcut bilgiler:
Ct: 100 Milyon Dolar
bent: 100%
t: 1 (yıllık)
Ct + 1: ?
| Alternatif | KİME | B | C | D | VE | F |
| periyodiklik | 1 | 2 | 50 | 100.000 | 10.000.000 | 1.000.000.000 |
Sahip olduğumuz bilgileri iki formülde değiştiriyoruz (fonksiyon açıklaması ve sürekli büyük harf kullanımı)
MM'den kaçınarak verileri ele alıyoruz.
Bölüyoruz (Ct + 1) sermayenin etkisini ortadan kaldırmak için üstel fonksiyonda 100 başına. Bu şekilde virgülü iki basamak ileriye taşıyoruz. Sonuç olarak, bu etki aşağıdaki sonuç sütunlarında görülebilir.
Sonuçlar:
| formül | Sürekli bileşik | üstel fonksiyon |
| Periyodiklik (p) veya (n) | Ct + 1 | Ct + 1/100 |
| 1 | 200 | 2 |
| 2 | 225 | 2,25 |
| 50 | 269,1588029 | 2,691588029 |
| 100.000 | 271,8268237 | 2,718268237 |
| 10.000.000 | 271,8281694 | 2,718281694 |
| 1.000.000.000 | 271,8282031 | 2,718282031 |
n veya p sonsuza yöneldiğinde, bu durumda 10.000.000'dan, değerlerin belirli bir sayıya yakınsadığını görebiliriz. Sürekli birleştirme için 271.8281 ve üstel fonksiyon için 2.718281'dir. İki dizi birleşiyor ve.
Tatbikata yanıt çözüldü
Öyleyse, eğer sermaye t + 1'deki (C) bir dizi dönemsellikten Amerikalı yatırımcı hangi alternatifi seçecek?t + 1) belirli bir değerde duruyor mu?
- Bu yatırımcı sermayeyi ayrı bir değişken olarak ele alırsa, o zaman alternatif D'yi seçecektir. Alternatif C'den t + 1'deki (C) sermayet + 1) $ 271MM'ye yakınsıyor.
- Bu yatırımcı sermayeyi sürekli bir değişken olarak ele alırsa, daha fazla periyodikliğe sahip alternatifi seçecektir. Bu durumda, alternatif F. Bir değere yakınsasa bile, yatırımcı tüm ondalıkları dikkate alır.
Bu yakınsama, sermayenin t + 1 (C) olduğu anlamına gelir.t + 1), sürekli bileşik formül veya üstel fonksiyon kullanılarak hesaplanır, azalan marjinal getirileri takip eder. Başka bir deyişle, (Çt + 1) logaritmik bir fonksiyon olarak ifade edilebilir.
şematik olarak:
- Periyodiklik = üstel fonksiyon.
- Sermaye t + 1 (Ct + 1) = logaritmik fonksiyon.
Grafik sunum
Grafikte sonsuz sürekli olan üstel fonksiyonun sınırlı sürekli büyük harf kullanımından çok daha hızlı büyüdüğünü görebilirsiniz. Sürekli kapitalizasyondan bahsettiğimizde, bir tür bileşik kapitalizasyona atıfta bulunuyoruz, ancak uygulamada faizleri sonsuz küçük bir şekilde kapitalize etmek imkansız olduğundan, daha büyük periyodikliğe sahip. Yani, her saniyeden yararlanamayız.