Poisson dağılımı, belirli olayların sıklığını bu olayların ortalama sıklığına dayalı olarak sabit bir zaman aralığı boyunca modelleyen ayrı bir olasılık dağılımıdır.
Başka bir deyişle, Poisson dağılımı, yalnızca olayları ve ortalama oluşma sıklıklarını bilerek, olasılıklarını bilebileceğimiz ayrı bir olasılık dağılımıdır.
Poisson dağılımı ifadesi
Kesikli bir rasgele değişken X verildiğinde, frekansının bir Poisson dağılımına tatmin edici bir şekilde yaklaşılabileceğini söylüyoruz, öyle ki:
Normal dağılımın aksine, Poisson dağılımı sadece bir parametreye bağlıdır, mu (sarı ile işaretlenmiştir).
Mu, belirli bir zaman aralığında gerçekleşmesi beklenen olay sayısını bildirir. "Beklenen" bir şeyden bahsederken, onu ortalamayı düşünmeye yönlendirmeliyiz. Bu nedenle mu, olayların sıklığının ortalamasıdır.
Bu dağılımın hem ortalaması hem de varyansı kesinlikle pozitiftir.
temsil
Ortalama 2 olan bir Poisson dağılımı verildiğinde, yoğunluk olasılık dağılımı aşağıdaki gibidir:
İşlev yalnızca x'in tamsayı değerleri üzerinde tanımlanır.
Örneği aynı tutsak bile tüm Poisson yoğunluk olasılık dağılımları aynı görünmeyecektir. Ortalamayı, yani fonksiyonun bağlı olduğu parametreyi değiştirirsek, fonksiyon da değişecektir.
Olasılık yoğunluk fonksiyonu (pdf)
Bu fonksiyon, rastgele değişken X'in belirli bir x değeri alma olasılığı olarak anlaşılır. Negatif ortalamanın üstel değeri ile gözleme yükseltilen ortalamanın çarpımı ve tümünün gözlemin faktöriyeliyle bölünmesidir.
Belirtildiği gibi, her bir gözlemin olasılığını bilmek için, fonksiyondaki tüm gözlemleri yerine koymamız gerekecek. Başka bir deyişle, x, rastgele değişken X'in tüm gözlemlerini içeren n boyutunun bir vektörüdür. Ortalama aynı zamanda bir vektör olabilir, ancak tek boyutludur, öyle ki:
Hesaplanan olasılıkları elde ettikten sonra, gözlemlerle birlikte olasılık yoğunluk dağılımını çizebiliriz.
Hikaye
Bu dağılımın adı, sabit bir zaman aralığında olayların sıklığını modellemek isteyen Fransız bir matematikçi ve filozof olan yaratıcısı Siméon-Denis Poisson'dan (1781-1840) gelmektedir. Ayrıca büyük sayılar yasasını mükemmelleştirmeye katıldı.
Uygulama
Poisson dağılımı, operasyonel bir kaybın meydana geldiği durumları modellemek için operasyonel risk alanında kullanılır. Piyasa riskinde, yüksek frekanslı veri tabanlarında finansal işlemler arasındaki bekleme süreleri için Poisson süreci kullanılır. Ayrıca, iflas sayısını modellemek için kredi riski de dikkate alınmaktadır.
Misal
Kış mevsiminde olduğumuzu varsayıyoruz ve Aralık'tan önce kayak yapmak istiyoruz. Kayak merkezlerinin Aralık ayından önce açılma olasılığı %5'tir. 100 kayak merkezinden en yakın kayak merkezinin Aralık'tan önce açılma olasılığını bilmek istiyoruz. Bu kayak merkezinin değerlemesi 6 puandır.
Poisson yoğunluk olasılık fonksiyonunu hesaplamak için gereken girdiler, veri seti ve mu:
- Veri seti = 100 kayak merkezi.
- Mu = %5 * 100 = 5 veri seti verilen beklenen kayak merkezi sayısıdır.
Yani en yakın istasyonun Aralık'tan önce açılma olasılığı %14.62'dir.
Frekans olasılığı