Taylor serisi, sonsuza uzanan, her bir ekin bir öncekinden daha büyük bir güce yükseltildiği bir dizi güçtür.
Taylor serisinin her bir elemanı, n (n!)'nin faktöriyelleri arasında a noktasında değerlendirilen f fonksiyonunun n'inci türevine karşılık gelir.
Biçimsel veya matematiksel olarak, Taylor serisi aşağıdaki forma sahiptir:
Taylor serisini daha iyi anlamak için, a'nın f fonksiyonuna teğet bir doğru üzerinde bir nokta olduğunu aklımızda tutmalıyız. Bahsedilen doğru da, a noktasındaki f fonksiyonu ile eğimi aynı olan lineer bir fonksiyon olarak ifade edilebilir.
Akılda tutulması gereken bir diğer husus, f'nin a noktasında n kez türevlenebilir bir fonksiyon olduğudur. n sonsuz ise, sonsuz türevlenebilir bir fonksiyondur.
Belirli bir durumda, a = 0 olduğunda, diziye McLaurin serisi de denir.
Seri ve Taylor polinomu arasındaki fark
Seri ve Taylor polinomu arasındaki fark, ilk durumda sonsuz bir diziden söz etmemizdir, ikinci durumda ise sonlu bir dizidir.
Bu nedenle, Taylor polinomu, belirli bir (a) noktasında n kez türevlenebilir bir fonksiyonun polinom yaklaşımı olarak tanımlanabilir.
Taylor serisi örnekleri
Taylor serisi varyasyonlarının bazı örnekleri şunlardır:
- Üstel fonksiyon:
- Trigonometrik fonksiyonlar:
Taylor serisi uygulamaları
Taylor serisinin bazı uygulamaları şunlardır:
- Limit analizi.
- Fonksiyonlarda durağan noktaların veya sandalye noktalarının analizi.
- L'Hopital teoreminde uygulama (limitleri çözmek için).
- İntegral tahmin.
- Belirli serilerin yakınsaklık ve ıraksaklıklarının tahmini.
- Fiyat doğrusal olmayan bir fonksiyon olarak ifade edildiğinde finansal varlıkların ve ürünlerin analizi.