Fonksiyonel denklemler, bilinmeyen olarak başka bir fonksiyona sahip olanlardır. Toplama, çıkarma, bölme, çarpma, kuvvet veya kök gibi bir cebirsel işlemle ilişkilendirilebilen bir işlev.
Fonksiyonel denklemler de çözünürlükleri için f (x) = 0 tipi bir cebirsel fonksiyona kolayca indirgenemeyen denklemler olarak tanımlanabilir.
Fonksiyonel denklemler, onları çözmenin tek bir yolu olmadığı için karakterize edilir. Ayrıca söz konusu değişken farklı değerler alabilir (bunu örneklerle göreceğiz).
Fonksiyonel denklem örnekleri
Bazı fonksiyonel denklem örnekleri şunlardır:
f (xy) = f (x).f (y)
f (x2+ ve2) = f (xy)2/2
f (x) = f (x + 3) / x
Öncekiler gibi durumlarda, örneğin x'in reel sayılar kümesine ait olduğu, yani x ∈ R (sıfır hariç tutulabilir) eklenebilir.
Fonksiyonel denklem örnekleri
Çözülmüş fonksiyonel denklemlerin bazı örneklerini görelim:
f (1 / 2x) = x-3f (x)
Yani x'i 1/2x ile değiştirirsem:
f (1/2 (1 / 2x)) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)
f (x) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)
f (x) = (1 / 2x) -3 (x-3f (x))
f (x) = (1 / 2x) -3x + 9f (x)
8f (x) = 3x- (1 / 2x)
f (x) = (3/8) x- (1 / 16x)
Şimdi biraz daha zor ama benzer bir şekilde ilerleyeceğimiz başka bir örneğe bakalım:
x2f (x) -f (5-x) = 3x… (1)
Bu durumda önce f (5-x) için çözüyoruz.
f (5-x) = x2f (x) -3x… (2)
Şimdi, Denklem 1'de x'i 5-x ile değiştiriyorum:
(5-x)2f (5-x) -f (5- (5-x)) = 3 (5-x)
(25-10x +x2) .f (5-x) -f (x) = 15-3x
f (5-x) 2 denkleminde olduğunu hatırlıyoruz:
(25-10x +x2) (x2f (x) -3x) -f (x) = 15-3x
25x2-75x-10x3f(x) + 30x2+ x4f (x) -3x3-f(x) = 15-3x
f(x)(x4-10x3-1) = 3x3-55x2+ 72x
f(x) = (3x3-55x2+ 72x) / (x4-10x3-1)
Cauchy'nin fonksiyonel denklemi
Cauchy fonksiyonel işlevi, türünün en temellerinden biridir. Bu denklem aşağıdaki forma sahiptir:
f (x + y) = f (x) + f (y)
x ve y'nin rasyonel sayılar kümesinde olduğunu varsayarsak, bu denklemin çözümü bize f (x) = cx olduğunu söyler, burada c herhangi bir sabittir ve aynısı f (y) için de olur.
