Bir antisimetrik matris, ana köşegenin dışındaki öğelerin simetrik olarak eşit olduğu ancak ana köşegenin altındakilerin negatif bir işaret taşıdığı kare bir matristir.
Başka bir deyişle, bir antisimetrik matris, aynı sayıda satır (n) ve sütun (m) içeren ve ana köşegenin her iki tarafındaki elemanlar tamamlayıcı olan bir matristir.
Ana köşegenin üstündeki ve altındaki elemanlar ötelendiğinden ana köşegen üzerindeki elemanlar sıfırdır.
Önerilen makale: simetrik olmayan matris ve simetrik matris.
Antisimetrik matrisin özellikleri
Bir antisimetrik matrisin özellikleri şunlardır:
- Kare matris.
- Ana köşegenin altındaki elemanlarda simetrik matris + negatif işaret (-).
- Ana köşegenin elemanları sıfırdır (0).
antisimetrik matris
Verilen bir kare matris ACE,
Ana köşegenin her iki tarafında aynı elemanların nasıl göründüğünü görebiliriz, ancak ana köşegenin altındaki elemanların önünde eksi işareti olması özelliğiyle. Ayrıca ana köşegen sıfırlardan oluşur.
Antisimetrik matris ve aynalar
Simetrik matris ile aynı şekilde, antisimetrik matris de ayna örneği üzerinden anlaşılabilir.
Aynada kendimize bakıp sağ kolumuzu kaldırırsak aynadaki kişinin sol kolunu kaldırdığını görürüz. Başka bir deyişle, aynanın hareketi bizimkini tamamlar ve bu nedenle her ikisinin toplamı sıfır olur.
Yukarıdaki fikri şu şekilde ifade edebilir ve şu sonucu çıkarabiliriz:
(Elini kaldır sağ) - (Elini kaldır ayrıldı) = 0
(Elini kaldır sağ) = (Elini kaldır ayrıldı)
Ana köşegen bir ayna görevi görür ve ana köşegenin her iki tarafında karşıt unsurları görürüz. Nötr işlevi (=) ana köşegenle eşlenir.
Emlak
- Bir antisimetrik matrisin transpoze matrisi, (-1) ile çarpılan antisimetrik matrise eşittir.
Başka bir deyişle, antisimetrik matrisin önüne bir eksi işareti eklemek gibi olur.
Matematiksel olarak,
Her iki prosedürle de aynı sonuca ulaştığımızı görebiliriz: matrisi transpoze etmek veya (-1) antisimetrik matrisle çarpmak.
Simetrik olmayan matris vs Antisimetrik matris vs Simetrik matris
Simetrik matris durumundaki ayna örneği aynı hareketi yansıtması için yeterlidir yani bir kolu kaldırırsak kalkık bir kol görebiliriz ancak ne olduğunu belirtmeye gerek yoktur. Antisimetrik matris durumunda, aynada hangi kolu gördüğümüzü kontrol etmemiz ve bunun bir antisimetrik matris olup olmadığını belirlememiz gerekir.
Kolumuzu kaldırıp aynaya bakarsak…
- Aynı kol, aynadaki kişinin bakış açısından kaldırıldığında, simetrik bir matristir.
- Aynadaki kişinin bakış açısından karşı kol kaldırılır, o zaman antisimetrik bir matris olur.
- Aynadaki kişinin bakış açısından hiçbir kol kaldırılmamışsa veya birden fazla kaldırılmamışsa, simetrik olmayan bir matristir.