Bernoulli dağılımının olasılık fonksiyonu
Bernoulli dağılımı, yalnızca birbirini dışlayan iki sonuçla sonuçlanabilen ayrık bir rastgele değişkeni temsil etmek için kullanılan teorik bir modeldir.
Önerilen makaleler: Bernoulli dağılımı, Bernoulli örneği, örnek uzay ve Laplace kuralı.
Bernoulli olasılık fonksiyonu
Z'yi bir kez bilinen ve sabitlenen Z rastgele değişkeni olarak tanımlarız. Yani Z rastgele değişiyor (kalıp tek bir ruloda dönüyor ve dönüyor) ama gözlemlediğimizde değeri sabitliyoruz (kalıp masaya düştüğünde ve belirli bir sonuç verdiğinde). İşte o anda sonucu değerlendirir ve neyi "başarı" olarak kabul edip etmediğimize bağlı olarak bir (1) veya sıfır (0) atarız.
Rastgele değişken Z bir kez ayarlandığında, yalnızca iki özel değer alabilir: sıfır (0) veya bir (1). O halde, Bernoulli dağılımının olasılık dağılım fonksiyonu, z sıfır (0) veya bir (1) olduğunda yalnızca sıfırdan farklı (0) olacaktır. Tersi durum, Bernoulli dağılımının dağılım fonksiyonunun sıfır (0) olmasıdır, çünkü z sıfır (0) veya bir (1) dışında herhangi bir değer olacaktır.
Yukarıdaki fonksiyon şu şekilde de yeniden yazılabilir:
Olasılık fonksiyonunun ilk formülünde z = 1 yerine koyarsak, z = 1 olduğunda ikinci olasılık fonksiyonunun değeriyle çakışan sonucun p olduğunu göreceğiz. Benzer şekilde, z = 0 olduğunda, herhangi bir p değeri için (1-p) elde ederiz.
Fonksiyonun anları
Bir dağılım fonksiyonunun anları, dağılım ölçüsünü değişen derecelerde kaydeden belirli değerlerdir. Bu bölümde yalnızca ilk iki anı gösteriyoruz: matematiksel beklenti veya beklenen değer ve varyans.
İlk an: beklenen değer.
İkinci an: varyans.
Bernouilli anları örneği
Olasılık p = 0.6 olan bir Bernoulli dağılımının ilk iki anını hesaplamak istediğimizi varsayalım.
Burada D ayrık bir rastgele değişkendir.
Yani, p = 0.6 olduğunu ve (1-p) = 0.4 olduğunu biliyoruz.
- İlk an: beklenen değer.
İkinci an: varyans.
Ayrıca, p = 0.6 olasılığı verilen dağılım fonksiyonunu hesaplamak istiyoruz. Sonra:
Olasılık fonksiyonu verildiğinde:
z = 1 olduğunda
z = 0 olduğunda
Mavi renk, Bernoulli dağılımının olasılık dağılım fonksiyonunu ifade etmenin her iki (eşdeğer) yolu arasında çakışan kısımları gösterir.
