Standart veya standart sapma

Standart sapma veya standart sapma, bir değişkenin ortalama dağılımı hakkında bilgi sağlayan bir ölçüdür. Standart sapma her zaman sıfırdan büyük veya sıfıra eşittir.

Bu kavramı anlamak için 2 temel kavramı analiz etmemiz gerekir.

• Matematiksel beklenti, beklenen değer veya ortalama: Veri serimizin ortalamasıdır.
• Sapma: Sapma, serinin herhangi bir değeri ile ortalama arasındaki farktır.

Şimdi, bu iki kavramı anlayarak, standart sapma ortalamaya benzer şekilde hesaplanacaktır. Ancak sapmaları değer olarak almak. Ve bu akıl yürütme sezgisel ve mantıklı olsa da, aşağıdaki grafikle kontrol edeceğimiz bir kusuru var.

Önceki görüntüde 6 gözlemimiz var, yani, N = 6. Gözlemlerin ortalaması, grafiğin merkezinde bulunan siyah çizgi ile temsil edilir ve 3'tür. gözlemler ve siyah çizgi. Yani 6 sapmamız var.

1. Sapma -> (2-3) = -1
2. Sapma -> (4-3) = 1
3. Sapma -> (2-3) = -1
4. Sapma -> (4-3) = 1
5. Sapma -> (2-3) = -1
6. Sapma -> (4-3) = 1

Gördüğümüz gibi, 6 sapmayı toplayıp N'ye (6 gözlem) bölersek sonuç sıfır olur. Mantık, ortalama sapmanın 1 olması olacaktır. Ancak, ortalamanın onu oluşturan değerlere göre matematiksel bir özelliği, sapmaların toplamının tam olarak sıfır olmasıdır. Bunu nasıl düzeltebiliriz? Sapmaların karesini alma

Standart sapmayı hesaplamak için formüller

Birincisi, sapmaların karesini almak, toplam gözlem sayısına bölmek ve son olarak kareyi geri almak için karekök almaktır, öyle ki:

Alternatif olarak, hesaplamanın başka bir yolu olabilir. Sapmaların mutlak değerlerinin toplamının ortalaması olacaktır. Yani, aşağıdaki formülü uygulayın:

Ancak bu formül farklı sonuçlar verdiği için standart sapmaya alternatif değildir. Aslında, yukarıdaki formül ortalamadan sapmadır. Standart veya standart sapma ve ortalamadan sapma benzerliklere sahiptir ancak aynı değildir. Bu son biçim, ortalama sapma olarak bilinir.

Standart sapma hesaplama örneği

Sunulan iki formülden herhangi biri ile standart sapmanın veya ortalama sapmanın sonucunun nasıl aynı olduğunu kontrol edeceğiz.

Varyans formülüne göre (kare kök):

Mutlak değer formülüne göre:

Tıpkı sezgisel hesaplamanın dikte ettiği gibi. Ortalama sapma 1'dir. Ama mutlak değer ve standart sapma formülünün farklı değerler verdiğini söylememiş miydik? Evet, ama bir istisna var. Standart sapma ile ortalamadan sapmanın aynı sonucu verdiği tek durum, tüm sapmaların 1'e eşit olduğu durumdur.

Standart sapmanın varyansla ilişkisi

Kısacası varyans, standart sapmanın karesinden başka bir şey değildir. Ya da aynı şeye gelince, standart sapma varyansın kare köküdür. Bunlar aşağıdaki gibi ilişkilidir:

Bu görüntüden sonra karekök içindeki formülün tamamının varyans olduğu açıktır. Bu kısmın varyans olarak bilinmesinin nedeni, diğer ölçüleri hesaplamak için başka formüllerde kullanılmasıdır. Bu nedenle, standart sapma sonuçları yorumlamak için daha sezgisel olsa da, varyansın nasıl hesaplandığı zorunludur.