Taylor polinomu, bir fonksiyonun polinom yaklaşımıdır.n belirli bir noktada türetilebilir zamanlar.
Başka bir deyişle, Taylor polinomu, belirli bir noktada değerlendirilen yerel türevlerin sonlu bir toplamıdır.
Matematiksel olarak
Tanımlıyoruz:
f (x): fonksiyonu x.
f (x0): fonksiyonuxbelirli bir noktada x0. Resmi olarak şöyle yazılmıştır:
F(n)(x):nf (x) fonksiyonunun -th türevi.
Uygulamalar
Taylor açılımı genellikle fiyatı doğrusal olmayan bir fonksiyon olarak ifade edilen finansal varlıklara ve ürünlere uygulanır. Örneğin, kısa vadeli bir borç senedinin fiyatı, faiz oranlarına bağlı doğrusal olmayan bir fonksiyondur. Diğer bir örnek, hem risk faktörlerinin hem de karlılığın doğrusal olmayan fonksiyonlar olduğu seçenekler olabilir. Bir bağın süresinin hesaplanması, birinci dereceden bir Taylor polinomudur.
Taylor polinom örneği
Bir x noktasında f (x) fonksiyonunun Taylor yaklaşımının ikinci mertebesini bulmak istiyoruz.0=1.
1. f(x) fonksiyonunun ilgili türevlerini yaparız.
Bu durumda bizden ikinci mertebeye kadar soruyorlar, biz de f(x) fonksiyonunun birinci ve ikinci türevlerini yapacağız:
- Birinci türev:
- İkinci türev:
2. x'i yerine koyarız0= f (x), f '(x) ve f' '(x)'de 1:
3. x noktasındaki türevlerin değerine sahip olduğumuzda0= 1, Taylor yaklaşımında yerine koyarız:
Polinomu biraz düzeltiriz:
Değerleri kontrol etme
Taylor yaklaşımı, x'e yaklaştıkça yeterli olacaktır.0 değerler olsun. Bunu kontrol etmek için x'e yakın değerleri değiştiriyoruz.0 hem orijinal fonksiyonda hem de yukarıdaki Taylor yaklaşımında:
ne zaman x0=1
Orijinal işlev:
Taylor yaklaşımı:
ne zaman x0=1,05
Orijinal işlev:
Taylor yaklaşımı:
ne zaman x0=1,10
Orijinal işlev:
Taylor yaklaşımı:
İlk durumda x olduğunda0= 1, hem orijinal fonksiyonun hem de Taylor yaklaşımının bize aynı sonucu verdiğini görüyoruz. Bunun nedeni yerel türevleri kullanarak oluşturduğumuz Taylor polinomunun bileşimidir. Bu türevler belirli bir noktada değerlendirilmiştir, x0= 1, bir değer elde etmek ve polinomu oluşturmak için. Yani o noktadan uzaklaştıkça, x0= 1, orijinal doğrusal olmayan fonksiyon için yaklaşım o kadar az uygun olacaktır. x olduğu durumlarda0= 1.05 ve x0= 1.10 Orijinal fonksiyonun sonucu ile Taylor yaklaşımı arasında önemli bir fark vardır.
Ama… fark çok küçük, değil mi?
Taylor polinom gösterimi
Uç noktaları genişletirsek (yaklaşımın x'ten uzaklaştığı yer)0=1):
İlk bakışta önemsiz görünebilir, ancak grafik üzerinde çalışırken ve yaklaşıklık yaparken en azından ilk dört ondalık basamağı hesaba katmak çok önemlidir. Yaklaşımların temeli kesinliktir.