Maksimum Olabilirlik Tahmini (VLE), örnekteki gözlemlere bağlı olan bir olasılık dağılımının parametrelerini tahmin etmek için genel bir modeldir.
Başka bir deyişle, EMV, olasılık dağılımına ve örnekteki gözlemlere bağlı olan yoğunluk fonksiyonlarının parametrelerinin olasılığını maksimize eder.
Maksimum olabilirlik tahmini hakkında konuştuğumuzda, hakkında konuşmalıyız. fonksiyon maksimum olasılık. Matematiksel olarak, verilen bir örnek x = (x1,…, Xn) ve parametreler, θ = (θ1,…, Θn) sonra,
Panik yapma! Bu sembol, toplamların toplamı ile aynı anlama gelir. Bu durumda, örnek gözlemlere (x) bağlı olan tüm yoğunluk fonksiyonlarının çarpımıdır.ben) ve θ parametreleri.
L (θ | x) değeri, yani maksimum olabilirlik fonksiyonunun değeri ne kadar büyükse, örnek tabanlı parametrelerin olasılığı o kadar yüksek olacaktır.
EMV'nin logaritmik işlevi
Maksimum olabilirlik tahminlerini bulmak için yoğunluk fonksiyonlarının ürünlerini türetmemiz (türetmemiz) gerekir ve bunu yapmanın en rahat yolu bu değildir.
Karmaşık fonksiyonlarla karşılaştığımızda yapabileceğimiz şey monoton bir dönüşümdür. Başka bir deyişle, Avrupa'yı gerçek bir ölçekte çizmeyi istemek gibi olurdu. Bir kağıda sığabilmesi için küçültmeliyiz.
Bu durumda, monotonik ve artan fonksiyonlar oldukları için doğal logaritmalar kullanarak monotonik dönüşümü yaparız. Matematiksel olarak,
Logaritmaların özellikleri, yukarıdaki çarpmayı yoğunluk fonksiyonlarına uygulanan doğal logaritmaların toplamı olarak ifade etmemize izin verir.
Yani logaritmalarla monotonik dönüşüm, basitçe daha küçük sayılara "ölçek değişikliği" dir.
Logaritmalarla maksimum olabilirlik fonksiyonunun parametrelerinin olasılığını maksimize eden parametrelerin tahmini değeri, orijinal maksimum olabilirlik fonksiyonunun parametrelerinin olasılığını maksimize eden parametrelerin tahmini değerine eşdeğerdir.
Dolayısıyla, hesaplama kolaylığı göz önüne alındığında, her zaman maksimum olabilirlik fonksiyonunun monoton modifikasyonu ile ilgileneceğiz.
Merak
EMV ne kadar karmaşık ve garip görünse de, farkında olmadan sürekli olarak uyguluyoruz.
Ne zaman?
Klasik varsayımlar altında doğrusal bir regresyon parametrelerinin tüm tahminlerinde. Daha yaygın olarak Sıradan En Küçük Kareler (OLS) olarak bilinir.
Başka bir deyişle, OLS'yi uygularken, her ikisi de tutarlılık açısından eşdeğer olduğu için EMV'yi örtük olarak uyguluyoruz.
Uygulama
Diğer yöntemler gibi EMV de yinelemeye dayalıdır. Yani, bir fonksiyonun maksimum veya minimum değerini bulmak için belirli bir işlemi gerektiği kadar tekrarlamak. Bu işlem, parametrelerin nihai değerleri üzerinde kısıtlamalara tabi olabilir. Örneğin, sonucun sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olması veya iki parametrenin toplamının birden küçük olması gerektiği.
Simetrik GARCH modeli ve farklı uzantıları, yoğunluk fonksiyonlarının parametrelerinin olasılığını maksimize eden parametrelerin tahmini değerini bulmak için EMV'yi uygular.