En büyük ortak bölen (GCF), iki veya daha fazla sayının bölünebildiği en büyük sayıdır. Bu, herhangi bir kalıntı bırakmadan.
Yani, en büyük ortak bölen veya GCF, bir sayı kümesinin bölünebileceği ve bir tam sayı ile sonuçlanabileceği en yüksek rakamdır.
Bir bölen, resmi olarak, bir diğerinde tam olarak n kez bulunan sayı olarak tanımlanabilir.
GCF'nin hesaplandığı sayıların sıfırdan farklı olması gerektiğine dikkat edilmelidir.
Daha iyi açıklamak için bir örneğe bakalım. Diyelim ki elimizde 35 ve 15 var. Böylece her birinin bölenlerinin ne olduğunu gözlemliyoruz:
- 35 → 35,7,5,1'in Bölenleri
- 15 → 15,5,3,1 bölenleri
Bu nedenle, 35 ve 15'in en büyük ortak böleni 5'tir.
İki sayının ortak bölenleri sadece 1 ve -1 ise, bunlara "birbirlerine asal" denildiğini belirtmekte fayda var.
En büyük ortak böleni hesaplama yöntemleri
En büyük ortak böleni hesaplamak için aşağıdaki üç yöntemi ayırt edebiliriz:
- Asal faktör ayrıştırması: Sayılar asal sayılara ayrılır. Ardından, GCF'yi hesaplamak için en düşük güce yükseltilmiş ortak sayıları alırız. Örneğin, elimizde 216 ve 156 olduğunu varsayalım:
216/2=108
108/2=54
54/2=27
27/3=9
9/3=3
3/3=1
216=(3^3)*(2^3)
156/2=78
78/2=39
39/3=13
13/13=1
156=13*3*(2^2)
Bu nedenle, her iki sayı arasındaki en büyük ortak bölen şudur: (2 2) * 3 = 12
Şimdi üç öğemiz olduğunu varsayalım: 315, 441 ve 819
315= (3^2)*7*5
441= (3^2)*(7^2)
819= (3^2)*7*13
Daha sonra, onları ayrıştırdıktan sonra, her bir böleni en düşük gücüyle alarak, sonuç şöyle olur:
GCF = (3 2) * 7 = 63
- Öklid'in algoritması: Bölerken için İçeri gel b, bir bölüm elde edilir c ve bir r. Buna göre en büyük ortak böleni için Y b aynıdır b Y r. Bu, aşağıdakiler göz önüne alındığında: a = bc + r. Daha iyi anlamak için bu yöntemi daha önce 216 ve 156 ile gösterilen örneğe uygulayalım.
216/156 = 1, kalan 60
şimdi 156/60 = 2'yi 36 kalanıyla bölüyoruz
60/36 = 1'i 24 kalanıyla böleriz
36/24 = 1'i 12 kalanıyla böleriz
Son olarak 24/12 = 2'yi 0 kalanıyla böleriz
Bu nedenle, en büyük ortak bölen 12'dir. Gördüğümüz gibi, kalan 0 olana kadar bölmemiz gerekiyor ve son bölen EBOB olacak.
- En küçük ortak kata göre: Sayılar çarpılır ve sonuç en küçük ortak katlarına (LCM) bölünür.
En küçük ortak katın (LCM), bir sayı kümesinin tüm öğelerinin katı olma koşulunu sağlayan en küçük rakam olduğunu hatırlamalıyız.
Yani, aynı örneğe geri dönersek, aşağıdaki gibi ayrıştırabiliriz:
216 = (3 3) * (2 3) ve 156 = 13 * 3 * (2 2) 204 = 3 * (2 2) * 17 168 = 3 * (2 3) * 7
En küçük ortak kat şöyle olur: (3 3) * (2 3) * 13 * 17 * 7 = 334.152
Yani: OBEB = 216 * 156 / 2.808 = 12
Bu yöntemin sadece iki sayı için çalıştığını belirtmekte fayda var.