Cramér-Rao Cota - Nedir, tanımı ve konsepti

Cramer-Rao sınırı (CCR), verilen düzenlilik koşulları için bir parametrenin tahmin edicisinin ulaşabileceği minimum varyanstır.

Başka bir deyişle, yansızlık ve etkinlik özelliklerine göre en iyi tahmin ediciyi bulmak için bu alt sınıra en yakın varyansı ararız.

Tahmin edicilerin özelliklerinin okunması tavsiye edilir.

Bu özellikler, ekonometrik bir analiz yapmak için bir tahminci seçmemiz gerektiğinde kullanılır. Sonuçlarımızın en azından kesin olmasını istiyorsak, tahmin edicinin yansız olmasını ve tüm yansız tahmin edicilerin (verimlilik) olası en küçük varyansına sahip olmasını istememiz gerekecek.

Tüm yansız tahmin edicileri hesaba katmamıza rağmen, minimum varyans tahmin edicisini aradığımızda, daha az varyansa sahip başka bir yansız tahmin edici olabilir.

Minimum varyanslı hiçbir yansız tahmin edicinin bizden kaçmaması için, bir parametrenin yansız tahmin edicisinin varyansının geçemeyeceği bir minimum veya alt sınır kurarız.

Sadece yansız tahmin edicilere bakıyoruz çünkü yanlı tahmin ediciler CCR'den daha az varyansa sahip olabilir.

formülasyon

Tanımlıyoruz:

f (X; Θ): olasılık yoğunluk fonksiyonu.

E (·): matematiksel umut.

ben (Θ): Bir parametrenin Fisher bilgisi.

Rastgele değişken X'in bir gözleminde yer alan parametrenin değeri hakkındaki "bilgi miktarını" temsil eder.

formül:

Panik yapma! Bu formülden ilk bakışta ne görebiliriz?

• Eşitlik (=) yerine katı olmayan bir eşitsizlik (≥) olduğunu görebiliriz. Bunun nedeni, bazı durumlarda CCR sınırına ulaşan yansız bir tahmin edici bulmamamızdır (mevcut değildir). Bu nedenle, bu alt sınıra mümkün olduğunca yakın bir yansız tahmin edicinin varyansını aradığımızı söylüyoruz. Ek olarak, CCR bize tahmincinin minimum varyansının ne olacağını söyler, bu rakamın altında bulunamaz.
• Sağdaki kısım (var (Θ ') parametremizin tahmininin varyansıdır.
• Soldaki kısım (1 / J (Θ)) varyansın aşılmaz minimumudur.
• Θ tahmin edicisinin varyansı için (mutlak) bir minimum ararsak, kısmi türevlerin (Θ'ye göre türev) ortaya çıkması mantıklıdır.
  • Ekonomide, kısmi türevler, fayda fonksiyonlarını optimize etmek için birinci ve ikinci dereceden koşullarda kullanılır: sırasıyla göreli ve mutlak maksimumları ve minimumları bulun.
  • CCR, olasılık yoğunluk fonksiyonu f (X; Θ) üzerinde Θ parametresinin ilk kısmi türevini kullanır.
  • Hesaplama kolaylığı için, bazı durumlarda CCR'yi elde etmek için ikinci türev ve alternatif Fisher bilgileri kullanılır.

Yansız olduklarından, CCR'ye eşit bir varyansa sahip olan tahminciler en verimli olarak kabul edilecektir. Benzer şekilde, varyansı daha yakın olan yansız tahminciler, diğer tahmin edicilerden (uzak) görece daha verimli kabul edilecektir.