Cholesky ayrıştırması, bir matrisin iki veya daha fazla matrisin ürününe çarpanlara ayrılmasını içeren İngilizce Alt-Üstten gelen özel bir tür LU matris ayrıştırmasıdır.
Başka bir deyişle, Cholesky ayrıştırması, aynı sayıda satır ve sütun (kare matris) içeren bir matrisi, ana köşegenin üstündeki sıfırlarla çarpı ana köşegenin altındaki sıfırlarla değiştirilen matrisiyle eşitlemekten oluşur.
LU ayrıştırması, Cholesky'den farklı olarak, çeşitli kare matrislere uygulanabilir.
Cholesky ayrışma özellikleri
Cholesky ayrıştırması aşağıdakilerden oluşur:
- Bir üst üçgen kare matris: Ana köşegenin altında yalnızca sıfırları olan kare matris.
- Bir alt üçgen kare matris: Ana köşegenin üzerinde yalnızca sıfırları olan bir matris.
Matematiksel olarak, pozitif tanımlı simetrik bir matris varsa, VE, o zaman bir alt üçgen simetrik matris vardır, K, ile aynı boyutta VE, sonuçlanan:
Yukarıdaki matris, E'nin Cholesky matrisi olarak görünür. Bu matris, E matrisinin karekökü olarak işlev görür. Karekökün alanının şöyle olduğunu biliyoruz:
(X ∈ ℜ: x ≥ 0)
Negatif olmayan tüm reel sayılarda tanımlanır. Karekök ile aynı şekilde Cholesky matrisi de ancak matris yarı pozitif tanımlıysa var olacaktır. Bir matris, majör minörlerin pozitif veya sıfır determinantı olduğunda tanımlanan yarı pozitiftir.
Cholesky ayrışması VE bir köşegen matristir, öyle ki:
Matrislerin kare olduğunu ve belirtilen özellikleri içerdiğini görebiliriz; ilk matriste ana köşegenin üstünde sıfır üçgeni ve dönüştürülmüş matriste ana köşegenin altında sıfır üçgeni.
Cholesky ayrıştırma uygulamaları
Finansta, bağımsız normal değişkenlerin gerçekleşmelerini, bir korelasyon matrisine göre korelasyonlu normal değişkenlere dönüştürmek için kullanılır. VE.
N, bağımsız normallerin (0,1) bir vektörüyse, bundan Ñ, aşağıdakine göre bağıntılı bir Normaller (0,1) vektörüdür. VE.
Cholesky ayrıştırma örneği
Bu, matrislerin kare olması gerektiğinden Cholesky ayrışmasının bulabileceğimiz en basit örneğidir, bu durumda matris (2 × 2)'dir. İki sütuna iki satır. Ayrıca ana köşegenin üstünde ve altında sıfır olması özelliklerini de karşılamaktadır. Bu matris yarı pozitif tanımlıdır çünkü majör minörlerin bir pozitif determinantı vardır. Tanımlıyoruz:
Çözüm: c2 = 4; b · c = -2; için2+ b2 = 5; dört olası Cholesky matrisimiz var:
Son olarak (a, b, c) bulmayı hesaplıyoruz. Onları bulduğumuzda Cholesky matrislerine sahip olacağız. Hesaplama aşağıdaki gibidir:
