Gauss-Markov Teoremi, bir OLS (Sıradan En Küçük Kareler) tahmincisinin ELIO (Optimal Linear Unbiased Estimator) olarak kabul edilebilmesi için yerine getirmesi gereken bir dizi varsayımdır. VEGauss-Markov teoremi, Carl Friederich Gauss ve Andrei Markov tarafından formüle edildi.
Carl Friederich Gauss ve Andréi Márkov, bir OLS tahmincisinin ELIO olabilmesi için bazı varsayımlar oluşturdu.
Bu 5 varsayım yerine getirilirse, tahmin edicinin tüm doğrusal ve yansız tahmin edicilerin minimum varyansına (en kesin) sahip olduğunu söyleyebiliriz. İlk üç varsayımdan herhangi birinin başarısız olması durumunda (Linearity, Null ortalama-katı dışsallık veya Mükemmel çoklu bağlantı yok), OLS tahmincisi artık yanlı değildir. Yalnızca 4 veya 5 başarısız olursa (Homoscedasticity ve No autocorrelation) tahmin edici hala doğrusal ve yansızdır, ancak artık en doğru değildir. Özetlemek gerekirse, Gauss-Markov Teoremi şunları belirtir:
- 1, 2 ve 3 varsayımları altında, OLS tahmincisi doğrusal ve yansızdır. Artık ilk üç varsayım karşılandığı sürece tahmin edicinin yansız olması sağlanabilir. Tahmincinin tutarlı olması için büyük bir örneklemin olması gerekir, ne kadar çok olursa o kadar iyidir.
- 1, 2, 3, 4 ve 5 varsayımları altında, OLS tahmincisi doğrusal, yansız ve optimaldir (ELIO).
Gauss-Markov teoreminin varsayımları
Spesifik olarak, 5 varsayım vardır:
1. Parametrelerde doğrusal model
Oldukça esnek bir varsayımdır. İlgilenilen değişkenlerin işlevlerinin kullanılmasına izin verir.
2. Boş ortalama ve katı dışsallık
Açıklamalara bağlı hatanın ortalama değerinin koşulsuz beklenen değere eşit olduğu ve sıfıra eşit olduğu anlamına gelir. Ayrıca, katı dışsallık, model hatalarının herhangi bir gözlemle ilişkili olmamasını gerektirir.
Boş demek:
Katı dışsallık:
Boş ortalama ve katı dışsallık şu durumlarda başarısız olur:
- Model yetersiz bir şekilde belirtilmiş (örneğin ilgili değişkenlerin ihmal edilmesi).
- Değişkenlerde ölçüm hataları var (veriler gözden geçirilmedi).
- Zaman serilerinde katı dışsallık, gecikmiş içsellik modellerinde (eşzamanlı dışsallık mevcut olsa da) ve geri besleme etkilerinin olduğu durumlarda başarısız olur.
Kesitsel verilerde dışsallık varsayımına ulaşmak zaman serilerine göre çok daha kolaydır.
3. Kesin çoklu bağlantı yok
Örnekte açıklayıcı değişkenlerin hiçbiri sabit değildir. Açıklayıcı değişkenler arasında kesin doğrusal ilişkiler yoktur. Değişkenler arasındaki bazı (mükemmel olmayan) korelasyonu dışlamaz. Gauss ve Markov'a göre, bir model tam çoklu bağlantıya sahip olduğunda, bu genellikle bir analistin hatasından kaynaklanır.
4. Homoskedastisite
Hatanın ve dolayısıyla Y'nin varyansı, açıklayıcı değerlerden ve ayrıca sabit hatanın varyansından bağımsızdır. Matematiksel olarak şu şekilde ifade edilir:
İşte homoskedastik görünüme sahip bir dizi veri.
5. Otokorelasyon yok
X'e bağlı iki farklı gözlemin hata terimleri ilgisizdir. Örnek rastgele ise, otokorelasyon olmayacaktır.
h'den farklı bir değere sahip olmalıyım. Örnek rastgele ise, veriler ve "i" ve "h" gözlem hataları, herhangi bir "i" ve "h" gözlem çifti için bağımsız olacaktır.
