Matris Kuadratik Formu - Nedir, tanımı ve konsepti
Matris ikinci dereceden form, n dereceli bir vektörün, devrik n dereceli vektör ile herhangi bir kare matris ile çarpımının ürünüdür.
Başka bir deyişle, matris ikinci dereceden form, bir kare matrisin, n mertebesinde bir vektörün ve bu vektörün devrik durumunun doğrusal bir birleşimidir.
Önerilen makale: matrislerle işlemler.
Matris Kuadratik Form Formülü
Verilen bir kare matris Z n mertebesinde ve n boyutlu bir h vektöründe, formun ikinci dereceden formu denilen ifadeyi yazabiliriz:
İkinci dereceden formun sonucu her zaman bir skaler, yani bir matris değil, tek bir sayı olacaktır.
Uygulamalar
Matris ikinci dereceden form, tanımlanan matrislerin pozitiflik ve negatiflik derecesini bulmak için kullanılır. h vektörünün değerlerine bağlı olarak, ikinci dereceden formun değeri sıfır (0), pozitif veya negatif olacaktır.
İkinci dereceden formu elde ettiğimizde, matrisi "tanımladığımızı" söyleyebiliriz. O halde belirli bir matristen bahsedebiliriz. Bu matris pozitif tanımlı, pozitif yarı tanımlı, negatif tanımlı ve negatif yarı tanımlı olabilir.
pratik örnek
Kare matrisin ikinci dereceden formunu bulma Z h vektörü verildi:
süreç
İlk önce h vektörünün devrik.
Sonra ikinci dereceden formun formülünü uygularız.
Daha önce de söylediğimiz gibi, ikinci dereceden formun sonucu her zaman tek bir sayı olacaktır. Bu durumda kesinlikle pozitif bir sayıdır.
Ama … Matrisleri çarpıyorsak, sonucun matris değil de somut bir sayı olması nasıl olabilir?
Çarpmadan matrisin boyutunun azaltılması, aynı sayıda sütun ve satırı paylaşan matrisleri çarptığımız için gerçekleşir.
Gösteri:
Matris ürününden Z ve yer değiştiren h vektöründen 3 × 1 boyutunda bir vektör kalır. Aynı şekilde, sonuç vektörü ile h vektörünün çarpımı, 1 × 1 boyutlu bir matris olarak kalır. 1 × 1 boyutlu bir matris bir skalerdir.
Yani, bir matrisin ikinci dereceden formunu hesaplarsak ve boyutu 1 × 1'den büyük bir matris elde edersek (belirli bir sayı dışında başka bir sonuç elde ederiz), bu, bir adımda hata yaptığımız ve sonuç yanlış.
