ARMA modeli, bağımsız değişkenlerin stokastik eğilimleri takip ettiği ve hata teriminin durağan olduğu durağan bir otoregresif modeldir.
Diğer bir deyişle, ARMA modeli, regresyonunda otokorelasyon ve hareketli ortalama modelini içermektedir.
Önerilen makaleler: rastgele yürüyüş teorisi, koşullu ortalama, otoregresyon.
ARMA'nın anlamı
ARMA modeli, İngilizce'den, Otoregresif Hareketli Ortalama iki kısma ayrılır:
- otoregresif: Bağımlı değişken belirli bir süre içinde kendine dönert.
- Hareketli ortalama: Gerilemeler rastgele süreçlerle temsil edilir.
AR modeli
Matematiksel olarak
1. AR (p) otoregresif modelinden başlıyoruz:
Nerede:
Başka bir deyişle, hata terimi stokastik bir süreci takip eder (rastgele değişken).
2. Aşağıdaki eşitliği kurarız:
4. AR (p)'deki önceki eşitliği değiştiririz ve şunu elde ederiz:
4. R'ye bağlı yeni bir polinom tanımlıyoruz:
Sonra,
Yeni polinomu X ile çarparsakt ve tüm parametreleri ve regresörleri eşitin soluna geçiririz, ilk AR'yi (p) elde ederiz.
Otoregresif modelden son denklemi elde ederiz:
Bu, otoregresif modelin ARMA modeline katkısıdır.
Hareketli ortalama modeli
Hareketli ortalama modeli, regresörlerin her dönemin hata terimleri olduğu bir otoregresyondur.t.
Matematiksel olarak
1. Regresörlerin hata terimi olduğu otoregresif AR (p) modelinden başlıyoruz:
Otoregresif model gibi, hata terimi de stokastik bir süreci (rastgele değişken) takip eder:
Hareketli ortalama modeli her zaman durağandır, yani bağımsız değişkenler (gecikmeli hata terimleri) rastgele değişkenlerdir. Başka bir deyişle, önceki dönem hata terimleri, mevcut hata terimlerinden bağımsızdır ve ortalama 0 ve koşullu varyans ile aynı (özdeş) olasılık dağılımına sahiptir.
2. Aşağıdaki eşitliği kurarız:
3. Hata teriminin AR (p)'sindeki önceki eşitliği yerine koyarız ve şunu elde ederiz:
4. E'ye bağlı yeni bir polinom tanımlıyoruz:
Ortak bir faktör alıyoruz:
Hareketli ortalama modelinden, 4. noktanın denklemi ile kalıyoruz:
ARMA (p, q) modeli
Matematiksel olarak
Hareketli ortalamalı genel otoregresif zaman serisi modelip otoregresif terimler vene Hareketli ortalama terimleri şu şekilde ifade edilir:
Panik yapma! Bir şeyi basitleştirebilir miyiz?
İşleri her zaman basitleştirebilirsiniz. Daha önce altını çizdiğimiz denklemleri hatırlıyoruz:
otoregresif model
Hareketli ortalama modeli
Böylece, ARMA modelinin basitçe otoregresif model ile hareketli ortalama modelinin (sarı ile işaretlenmiş) birleşimi olduğunu görebiliriz.