Yansız bir tahmin edici, matematiksel beklentisi tahmin etmek istediğiniz parametrenin değeriyle çakışan tahmin edicidir. Eğer örtüşmüyorlarsa, tahmin edicinin yanlı olduğu söylenir.
Tarafsız bir tahminci aramamızın nedeni, tahmin etmek istediğimiz parametrenin iyi tahmin edilmiş olmasıdır. Başka bir deyişle, belirli bir futbolcunun maç başına ortalama gollerini tahmin etmek istiyorsak, bize gerçek değere mümkün olduğunca yakın bir değer veren bir formül kullanmamız gerekir.
Tahmin edicinin beklentisinin parametrenin gerçek değeri ile örtüşmemesi durumunda tahmin edicinin yanlı olduğu söylenir. Sapma, tahmincinin beklenti değeri ile gerçek değer arasındaki fark olarak ölçülür. Matematiksel olarak şu şekilde not edilebilir:
Yukarıdaki formülden ilk ve son kısım açıktır. Yani tahmin edicinin beklentisi parametrenin gerçek değerine eşittir. Bu eşitlik geçerliyse, tahmin edici yansızdır. Matematiksel olarak daha soyut olan orta kısım bir sonraki paragrafta açıklanmıştır.
Tahmincinin her farklı örnek için yapabileceği tüm tahminlerin ortalaması parametreye eşittir. Örneğin 30 farklı örneğimiz varsa, normal olan her örnekte tahmin edicinin (çok az da olsa) farklı değerler sunmasıdır. 30 farklı örnekte tahmin edicinin 30 değerinin ortalamasını alırsak, tahmin edici parametrenin gerçek değerine eşit bir değer döndürmelidir.
Nokta tahminiBir tahmincinin yanlılığı
Belirli bir parametreyi hesaplamak için yansız bir tahminci her zaman bulunamaz. Yani tahmincimiz yanlı olabilir. Bir tahmincinin yanlılığı olması, onun geçerli olmadığı anlamına gelmez. Bu sadece istatistiksel olarak istediğimiz kadar iyi uymadığı anlamına gelir.
Bununla birlikte, istediğimiz kadar iyi uymasa bile, bazen yanlı bir tahminci kullanmaktan başka seçeneğimiz kalmaz. Bu nedenle, bu önyargının boyutunu bilmemiz hayati önem taşımaktadır. Bunu biliyorsak, bu bilgiyi araştırmamızın sonuçlarında kullanabiliriz. Matematiksel olarak önyargı şu şekilde tanımlanır:
Yukarıdaki formülde önyargı sıfır olmayan bir değerdir. Sıfır olsaydı, tahmin edici yansız olurdu.
Tarafsız bir tahminci örneği
Ortalama tahmin edicide bir yansız tahmin edici örneği bulunur. Bu tahmin edici, istatistikte örnek ortalama olarak bilinir. Başlangıçta açıklanan matematiksel formülü kullanırsak, örnek ortalamanın yansız bir tahmin edici olduğu sonucuna varırız. Çalıştırmadan önce aşağıdaki bilgileri dikkate almalıyız:
X'i örnek ortalamanın üzerinde bir çubukla gösteriyoruz.
Örnek ortalamanın formülü, değer sayısına böldüğümüz n değerlerinin toplamıdır. 20 verimiz varsa, n 20'ye eşit olacaktır. 20 verinin değerlerini toplayıp 20'ye bölmemiz gerekecek.
Yukarıdaki gösterim, numune ortalamasının beklentisi veya beklenen değeri anlamına gelir. Halk dilinde, örnek ortalamanın ortalama değeri olarak hesaplandığını söyleyebiliriz. Bunu akılda tutarak, uygun matematiksel teknikleri kullanarak aşağıdakileri çıkarabiliriz:
Tahmin edicinin beklentisi, parametrenin gerçek değeri olan 'mu' ile örtüşmektedir. Yani, gerçek ortalama. Her şey söyleniyor, önceki gelişimi anlamak için matematikle ilgili bazı temel kavramlar gerekli.
Benzer şekilde, örnek varyansının tahmincisi ile aynı şeyi yapmaya çalışabiliriz. Takip eden kısımda S kare örnek varyansı ve Yunan harfi sigma (sağda bir çubukla o harfine benzeyen) gerçek varyanstır.
Yukarıdaki formülden farkı, birinci formülün ikinci kısmıdır. Yani:
Nüfus varyansının bir tahmincisi olarak örnek varyansının yanlı olduğu sonucuna varıyoruz. Önyargısı yukarıda belirtilen değere eşittir. Bu nedenle, popülasyon varyansına ve örneklem büyüklüğüne (n) bağlıdır. n (örnek boyutu) çok büyük olursa, önyargının sıfır olma eğiliminde olduğuna dikkat edin.
Örnek çok büyük olma eğiliminde olduğunda, tahmin edici parametrenin gerçek değerine yaklaşıyorsa, o zaman asimptotik olarak yansız bir tahmin ediciden bahsediyoruz.