Fraktal Geometri - Nedir, tanımı ve kavramı

Fraktal geometri, fraktalları inceleyen geometri dalıdır. Bunlar, farklı ölçeklerde gözlemlediğimizde tekrarlanan bir yapıya sahip karmaşık nesnelerdir.

Fraktallar, diğer bir deyişle, bütüne benzeyen parçalardan oluşan ve düzensiz yapılardır. Böldüğümüzde birkaç küçük brokoliye bölünen bir brokoli kafası düşünelim.

Fraktal geometri, gerçekliğe daha iyi yaklaşma ihtiyacından doğdu, çünkü düzlem geometrisi ve uzay çalışması figürlerinin ve cisimlerinin geometrisi, doğada çok zor buluyoruz.

Dağların koni olmadığını ve onlara yakından bakarsak Mısır piramitlerinin bile yüzeylerinde bazı düzensizlikler olacağını düşünün. Bu kusurlara pürüzlülük kalitesi denir ve artık sadece çevre, alan ve hacme sahip olmayan nesnelere fraktal geometri katan bir özelliktir.

Fraktal geometrinin kökeni

Fraktal geometrinin kökeni, matematikçi Benoit Mandelbrot'un yanı sıra en büyük edebi eseri olan 1982'de yayınlanan "Fractal Geometry of Nature" tarafından öncülük edilmiştir.

Fraktal kelimesi, kırık veya kırık anlamına gelen Latince "fraktus" kelimesinden gelir ve 1975 yılında Mandelbrot tarafından icat edilmiştir.

Mandelbrot, fraktal ekonomi çalışmasını resmileştirmiş olsa da, doğada fraktalların varlığını ilk fark eden kişi olmadığını belirtmekte fayda var. Örneğin, ünlü Japon ressam Katsushika Hokusai'nin çalışmalarına bakarsak, bu kavramın uygulandığını görürüz (ve Mandelbrot'un kendisi bir röportajda bundan bahsetmiştir). Örneğin, "Büyük Dalga" resminde, dalganın içinde daha küçük dalgaların nasıl olduğunu gözlemliyoruz.

Bir fraktalın özellikleri

Bir fraktalın ana özellikleri şunlardır:

• Kendine benzerlik: Daha önce bahsettiğimiz şeylere atıfta bulunur. Fraktalın bir kısmına daha büyük ölçekte (daha yakından) bakarsak, tüm nesneyle aynı görünecektir. Yani parça bütüne benzer, ancak bu her zaman tam olarak doğru değildir. Örneğin, birçok küçük eşkenar dörtgenden oluşan bir eşkenar dörtgen düşünelim. Bu eşkenar dörtgenlerin boyutları biraz değişse de, bir fraktal olurdu.
• Fraktal boyut topolojik boyuta eşit değil: Topolojik boyutu açıklamak için, bir ağ gibi ızgaralara bölünmüş bir düzlemimiz olduğunu düşünelim. Bu yüzden 2 ızgaradan geçen bir çizgi çiziyorum. Tüm ağ ızgaralarını ikiye bölseydim, çizgi 4 ızgaradan geçerdi. Yani 2 ile çarpılır, bu da 1'e yükseltilen indirgeme faktörü (2)'ye eşittir (2 = 2¹), fazlalığa değer, çizginin boyutlarının sayısıdır. Şimdi, bir çokgenimiz varsa, iki boyutlu bir figürümüz varsa, benzer bir şey olur. Örneğin, dört ızgaraya yayılan bir karemiz varsa ve yine 2'lik bir indirgeme faktörü uygularsak, kare 16 ızgaraya yayılacaktır. Yani, ızgara sayısı (4) 4 ile çarpılır, bu da 2'nin 2'ye yükseltilmesidir (2 = 2²), üs, boyutların karesi sayısıdır. Ancak, yukarıdakilerin tümü fraktallarda doğru değildir.
• Hiçbir noktada ayırt edilemezler: Bu, matematiksel olarak, temsil edilen fonksiyonun türevinin hesaplanamayacağı anlamına gelir. Görsel anlamda, grafiğin sürekli olmadığı, ancak tepe noktalarının olduğu, dolayısıyla türetmenin mümkün olmadığı anlamına gelir.

Fraktal geometri uygulaması

Fraktal geometri çeşitli alanlarda uygulanabilir. Örneğin 1940 yılında Lewis Fry Richardson, ülke ve ülke arasındaki çeşitli sınırların ölçüm ölçeğine bağlı olarak değiştiğini gözlemlemişti. Yani bir coğrafi konturu ölçersek, sonuç kullanılan cetvelin uzunluğuna bağlı olarak değişecektir. Bu, Mandelbrot'un 1967'de Science dergisinde yayınlanan "Büyük Britanya kıyıları ne kadardır?" başlıklı makalesinde bir referans görevi gördü.

Coğrafi bölgelerin fraktal olduğunu hesaba katarsak ve onları daha büyük ölçekte gördüğümüzde daha fazla düzensizlik gördüğümüz açıklanabilir.

Fraktal geometrinin bir başka uygulaması, borsadaki sismik hareketlerin ve hareketlerin analizidir.

Ek olarak, fraktalların yukarıda bahsedilen Hokusa gibi sanatçılara ilham kaynağı olduğunu kabul etmeliyiz ve ayrıca Jackson Pollock vakamız da var.